Mulţimea lui Mandelbrot

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Imaginea iniţială a mulţimii lui Mandelbrot.

Mulţimea lui Mandelbrot este un fractal care a devenit cunoscut în afara matematicii atât pentru estetica sa, cât şi pentru structura complicată, care are la bază o definiţie simplă. Acest lucru se datorează în mare parte eforturilor lui Benoît Mandelbrot şi ale altora, care au lucrat pentru a aduce acest domeniu al matematicii publicului general.

Cuprins

1 Istoric
2 Definiţie formală
3 Proprietăţi de bază
4 Galerie de imagini ale unor secvenţe mărite
5 Cardioida principală şi bulbii periodici
6 Componente hiperbolice
7 Copii mici ale mulţimii lui Mandelbrot
8 Relaţia cu mulţimile Julia
9 Geometria mulţimii lui Mandelbrot
10 Generalizări
11 Referinţe

[modifică] Istoric

Mulţimea lui Mandelbrot îşi are locul în studiul sistemelor dinamice în planul complex, un câmp investigat pentru prima dată de către matematicienii francezi Pierre Fatou şi Gaston Julia la începutul secolului 20. Primele imagini au fost desenate în 1978 de către Brooks şi Matelski ca parte a studiului grupurilor Kleinian.^[1]

Mandelbrot a studiat parametrul spaţiu al polinoamelor pătratice într-un articol care a apărut în 1980.^[2] Studiul matematic al mulţimii lui Mandelbrot a început abia cu munca matematicienilor Adrien Douady şi John H. Hubbard,^[3] care au stabilit multe proprietăţi fundamentale ale lui $M$ şi au numit mulţimea în onoarea lui Mandelbrot.

Munca lui Douady şi a lui Hubbard a coincis cu un interes crescut faţă de dinamica complexă, iar studiul mulţimii lui Mandelbrot a fost în centrul acestui domeniu încă de atunci. Este de prisos să alcătuim o listă cu matematicienii care au contribuit la o mai bună înţelegere a mulţimii de atunci, dar o astfel de listă i-ar include cu siguranţă pe Mikhail Lyubich^[4]^[5], Curt McMullen, John Milnor, Mitsuhiro Shishikura şi Jean-Christophe Yoccoz.

[modifică] Definiţie formală

Mulţimea lui Mandelbrot $M$ este definită de o familie de polinoame pătratice complexe

$f_c:\mathbb C\to\mathbb C$

date de

$f_c(z) = z^2 + c.\,$

unde $c$ este un parametru complex. Pentru fiecare $c$ , se consideră şirul $(0, f_c(0), f_c(f_c(0)), f_c(f_c(f_c(0))), \ldots)$ obţinut prin iterarea funcţiei $f c (z)$ începând cu $z = 0$ , care ori tinde către infinit, ori rămâne în interiorul unui disc de rază finită. Mulţimea lui Mandelbrot este definită ca mulţimea punctelor $c$ astfel încât şirul anterior nu tinde către infinit.

O imagine a mulţimii lui Mandelbrot M. Un punct c este colorat în negru dacă aparţine mulţimii şi alb dacă nu.

Mai formal, dacă $f^n_c(z)$ denotă a n-a iteraţie a funcţiei $f c (z)$ ( $f c (z)$ compusă cu ea de n ori) mulţimea lui Mandelbrot este submulţimea planului complex dată de

$M = \left\{c\in \mathbb C : \sup_{n\in \mathbb N}|f^n_c(0)| < \infin\right\}.$

Matematic, mulţimea lui Mandelbrot este doar o mulţime de numere complexe. Un număr complex $c$ dat aparţine sau nu lui $M$ . O imagine a mulţimii lui Mandelbrot poate fi creată prin colorarea punctelor $c$ care aparţin lui $M$ cu negru şi a celorlalte cu alb. Imaginile colorate văzute de obicei sunt generate prin colorarea punctelor care nu aparţin mulţimii în concordanţă cu cât de repede şirul $|f^n_c(0)|$ diverge spre infinit. Vezi secţiunea despre imagini generate de computer de mai jos pentru detalii.

Mulţimea Mandelbrot poate fi de asemenea definită ca locul de conectivitate al familiei de polinoame $f c (z)$ . Aşadar, este submulţimea planului complex formată din acei parametri $c$ pentru care mulţimea Julia a funcţiei $f c$ este conexă.

[modifică] Proprietăţi de bază

Mulţimea lui Mandelbrot este o mulţime compactă, conţinută în discul închis de rază 2 centrat în origine. De fapt, un punct $c$ aparţine mulţimii lui Mandelbrot dacă şi numai dacă $|f^n_c(0)|\leq 2$ pentru orice $n\geq 0$ . Cu alte cuvinte, dacă valoarea absolută a $f^n_c(0)$ devine mai mare decât 2, şirul va diverge către infinit.

Intersecţia lui $M$ cu axa reală este intervalul $[-2; 0,25]\,$ . Parametrii de-a lungul acestui interval pot fi puşi într-o corespondenţă unu-la-unu cu cei ai familiei logistice reale,

$z\mapsto \lambda z(z-1),\quad \lambda\in[1,4].\,$

Corespondenţa este dată de

$c = \frac{1-(\lambda-1)^2}{4}.$

De fapt, această dă o corespodenţă între întreg spaţiul parametrilor familiei logistice şi cea a mulţimii lui Mandelbrot.

Suprafaţa mulţimii lui Mandelbrot este estimată la 1,506 591 77 ± 0,000 000 08. Mai exact, este conjecturat că este $\sqrt{6\pi -1} - e$ = 1,506591651…. [1]

Douady şi Hubbard au arătat că mulţimea lui Mandelbrot este conexă. De fapt, ei au construit un izomorfism între complementa mulţimii lui Mandelbrot şi complementul discului unitate închis. Mandelbrot a conjecturat iniţial că mulţimea Mandelbrot este neconexă. Această conjectură fusese bazată pe imagini computerizate geenrate de programe care nu au capacitatea de a detecta filamentele fine care conectează diferitele părţi ale lui $M$ . În urma unor experimente ulterioare, el şi-a revizuit conjectura, afirmând că $M$ ar trebui să fie conexă.

Formula dinamică pentru uniformizarea complementarei mulţimii lui Mandelbrot, care reiese din demonstraţiile conexităţii lui $M$ ale lui Douady şi Hubbard, este baza razelor externe ale mulţimii lui Mandelbrot. Aceste raze pot fi folosite în studiul mulţimii lui Mandelbrot în termeni combinatoriali, şi formează baza parapuzzleului lui Yoccoz.

Graniţa mulţimii lui Mandelbrot este exact locul de bifurcaţie a familiei pătratice; adică mulţimea de parametri $c$ pentru care dinamica se schimbă brusc prin schimbări mici ale lui $c$ . Se poate construi ca mulţimea limită a unei secvenţe curbe algebrice plane, curbele Mandelbrot, de tipul general, ştiute ca lemniscate polinomiale. Curbele Mandelbrot sunt definite prin p₀=z, p_n=p_n-1²+z, şi apoi interpretând mulţimea de puncte |p_n(z)|=1 în planul complex ca o curbă în planul real cartezian de gradul 2ⁿ⁺¹ în x şi y.

[modifică] Galerie de imagini ale unor secvenţe mărite

Următorul exemplu al unei secvenţe de imagini mărite până la o valoare a lui c selectată dă impresia unei mulţimi infinite de structuri geometrice diferite şi explică câteva dintre regulile lor. Pentru a se obţine ultima imagine, prima a fost mărită de aproximativ 60 000 000 000 de ori. În comparaţie cu un monitor obişnuit, ea reprezintă o secţiune într-o mulţime a lui Mandelbrot cu un diametru de 20 milioane de kilometri. Frontiera sa ar dezvălui o cantitate imensă de structuri fractale diferite.

Start	Pasul 1	Pasul 2	Pasul 3	Pasul 4
Pasul 5	Pasul 6	Pasul 7	Pasul 8	Pasul 9
Pasul 10	Pasul 11	Pasul 12	Pasul 13	Pasul 14

Start: Mulţimea lui Mandelbrot într-un mediu continuu colorat.
Pasul 1: Spaţiul dintre "cap" şi "corp", numit şi "valea căluţilor de mare".
Pasul 2: La stânga, spirale duble, la dreapta, "căluţi de mare".
Pasul 3: "Căluţ de mare" cu susul în jos. "Corpul" său este compus din 25 de "ţepi", separaţi în 2 grupuri de câte 12 "ţepi" fiecare şi un "ţep" care îl conectează la cardioida principală. Acestor două grupuri li se poate atribui un fel de metamorfoză a celor două "degete" ale "mâinii superioare" a mulţimii lui Mandelbrot. Aşadar, numărul "ţepilor" creşte de la un "căluţ" la altul cu 2. Punctul central se mai numeşte şi punct Misiurewicz. Între "partea superioară a corpului" şi "coadă" se poate observa o copie mică şi distorsionată a mulţimii lui Mandelbrot, numit satelit.
Pasul 4: Punctul central al sfârşitului "cozii căluţului de mare" este de asemenea un punct Misiurewicz.
Pasul 5: Parte a "cozii". Există doar un singur drum format din structuri fine care merge prin întreaga "coadă". Acest zigzag trece prin "centrele" ale obiectelor mari cu 25 de "ţepi" pe părţile interioară şi exterioară ale "cozii". Mulţimea lui Mandelbrot este numită mulţime simplu conexă. Asta înseamnă că nu există insule şi nici circuite în jurul unei găuri.
Pasul 6: Satelit. Cele două "cozi" sunt începutul unei serii de coroane concentrice cu un satelit în centru.
Pasul 7: Fiecare dintre aceste coroane este formată din "cozi" similare. Numărul lor creşte cu puteri ale lui 2, un fenomen obişnuit în cazul sateliţilor. Drumul unic către centrul spiralei menţionat la pasul 5 trece pe lângă satelit de la vârful cardioidei către vârful "antenei" de pe "cap".
Pasul 8: "Antena" satelitului. Mai mulţi sateliţi de ordinul doi pot fi recunoscuţi.
Pasul 9: "Valea căluţilor de mare" a satelitului. Toate structurile din imaginea de la pasul 1 reapar.
Pasul 10: Spirale duble şi "căluţi de mare". Spre deosebire de imaginea de la pasul 2, acestea au apendice formate din structuri asemănătoare "cozilor căluţilor de mare". Acest lucru demonstrează modul de legare a n+1 structuri diferite în mediul sateliţilor de ordinul n, aici pentru cazul cel mai simplu n=1.
Pasul 11: Spirale duble cu sateliţi de ordinul doi. Analog "căluţilor de mare", spiralele duble pot fi interpretate ca metamorfoză a "antenei".
Pasul 12: În exteriorul apendicelor pot fi recunoscute insule de structuri. Au forma mulţimilor Julia J_c. Cea mai mare dintre ele poate fi găsită în centrul "cârligului dublu" din partea dreaptă.
Step 13: Parte a "cârligului dublu".
Pasul 14: La prima vedere, aceste insule par a fi formate dintr-un număr infinit de părţi, precum mulţimile Cantor, aşa cum se întâmplă în cazul mulţimilor Julia J_c corespunzătoare. Aici sunt conectate prin structuri minuscule astfel încât întregul reprezintă o mulţime simplu conexă. Aceste structuri mici se întâlnesc la un satelit central care este prea mic pentru a putea fi observat la această rezoluţie. Valoarea lui c pentru J_c corespunzătoare nu este cea a centrului imaginii, ci are relativ la corpul principal al mulţimii lui Mandelbrot aceeaşi poziţie ca şi centrul acestei imagini în relaţie cu satelitul din imaginea de la pasul 7.

[modifică] Cardioida principală şi bulbii periodici

Perioade ale componentelor hiperbolice

La privirea unei imagini reprezentând mulţimea lui Mandelbrot, se observă imediat regiunea în formă de cardioidă din centru. Această cardioidă principală este regiunea acelor parametri $c$ pentru care $f c$ are punct fix de atracţie. Este formată din toţi parametrii de forma

$c = \frac{1-(\mu-1)^2}{4}$

pentru oricare $\mu\,$ din discul unitate deschis.

La stânga cardioidei principale, ataşat de ea în punctul $c=-3/4\,$ , se află un bulb circular. Bulbul este format din acei parametri $c\,$ pentru care $f c$ are un ciclu de atracţie de perioadă 2. Această mulţime de parametri este de fapt un cerc, mai precis de rază 1/4 şi centru -1.

Există şi un număr infinit de bulbi ataşaţi la cardioida principală: pentru fiecare număr raţional $\frac{p}{q}$ , cu p şi q coprime, există un astfel de bulb ataşat la parametrul: $c_{\frac{p}{q}} = \frac{1 - \left(e^{2\pi i \frac{p}{q}}-1\right)^2}{4}.$

Ciclu de atracţie în bulbul 2/5 peste mulţimea Julia (animaţie)

Acest bulb se numeşte bulbul $\frac{p}{q}$ al mulţimii lui Mandelbrot. Este format din acei parametri care au un ciclu de atracţie de perioadă $q$ şi număr de rotaţie combinatoric $\frac{p}{q}$ . Mai exact, toate componentele Fatou de perioadă $q$ conţinând ciclul de atracţie se ating într-un punct comun (denumit uzual punctul fix $\alpha\,$ ). Dacă etichetăm aceste componente $U_0,\dots,U_{q-1}$ în sens trigonometric, atunci $f c$ mapează componenta $U j$ la componenta $U_{j+p\,(\operatorname{mod} q)}$ .

Ciclii de atracţie şi mulţimile Julia pentru parametrii din bulbii 1/2, 3/7, 2/5, 1/3, 1/4 şi 1/5

Schimbarea comportamentului care apare la $c_{\frac{p}{q}}$ este cunoscută ca o bifurcaţie: punctul de atracţie fix "se loveşte" cu un ciclu de respingere de perioadă $q$ . Pe măsură ce înaintăm prin parametrul de bifurcaţie în bulbul $\frac{p}{q}$ , punctul de atracţie fix devine un punct de respingere fix (punctul fix $α$ ), iar ciclul de perioadă $q$ devine ciclu de atracţie.

[modifică] Componente hiperbolice

Toţi bulbii întâlniţi în secţiunea anterioară sunt interiori componentelor mulţimii lui Mandelbrot în care graficele $f_c\,$ au un ciclu de atracţie periodic. Astfel de componente se numesc componente hiperbolice.

Este conjecturat că acestea sunt singurele regiuni interioare ale lui $M$ . Această problemă, cunoscută ca densitatea de hiperbolicitate, este probabil cea mai importantă problemă nerezolvată din câmpul dinamicii complexe. Componente non-hiperbolice ipotetice ale mulţimii lui Mandelbrot sunt denumite deseori componente "ciudate".

Pentru polinoamele pătratice reale, s-a răspuns la această întrebare în anii 1990, independent, de către Lyubich şi de către Graczyk şi Świątek. (Observaţi că acele componente hiperbolice care intersectează axa reală corespund exact ferestrelor periodice din diagrama Feigenbaum. Deci acest rezultat afirmă că astfel de fereste există lângă orice parametru din diagramă.)

Nu toate componentele hiperbolice pot fi atinse de o secvenţă de bifurcaţii directe din cardioida principală a mulţimii lui Mandelbrot. Totuşi, o astfel de componentă poate fi atinsă de o secvenţă de bifurcaţii directe de la cardioida principală a unei copii mici a mulţimii lui Mandelbrot (vezi mai jos).

[modifică] Copii mici ale mulţimii lui Mandelbrot

Copii mici ale mulţimii lui Mandelbrot

Mulţimea lui Mandelbrot este auto-similară în sensul că versiuni mici şi distorsionate ale ei pot fi găsite la orice scară pe lângă orice punct al graniţei mulţimii. Acest fenomen este explicat de teoria renormalizării a lui Douady şi Hubbard.

[modifică] Relaţia cu mulţimile Julia

O mulţime Julia "încorporată"

Ca o consecinţă a definiţiei mulţimii lui Mandelbrot, există o legătură strânsă între geometria mulţimii luiMandelbrot la un moment dat şi structura mulţimii Julia corespunzătoare.

Acest principiu este exploatat în aproape toate rezultatele obţinute asupra mulţimii lui Mandelbrot. De exemplu, Shishikura dovedeşte că, pentru o mulţime densă de parametri din graniţa mulţimii lui Mandelbrot, mulţimea Julia are dimensiunea Haussdorff doi, şi apoi trasnferă această informaţie parametrului plan. În mod similar, Yoccoz dovedeşte întâi conectivitatea locală pentru mulţimile Julia, iar apoi o stabileşte pentru mulţimea lui Mandelbrot cu parametrii corespunzători. Adrien Douady formulează acest principiu în felul următor:

Ară în planul dinamic şi culege în spaţiul parametrilor.

[modifică] Geometria mulţimii lui Mandelbrot

Pentru fiecare număr raţional $\frac{p}{q}$ , unde $p$ şi $q$ sunt coprime, există o componentă hiperbolică de perioadă $q$ care se bifurcă din cardioida principală. Partea mulţimii lui Mandelbrot care se conectează la cardioida principală în acest punct se numeşte membru- $\frac{p}{q}$ . Experimente computerizate sugerează că diametrul membrului tinde la zero precum $\frac{1}{q^2}$ . Cea mai bună estimare curentă este faimoasa inegalitate Yoccoz, care afirmă că mărimea tinde la zero precum $\frac{1}{q}$ .

O perioadă membru- $q$ va avea $q - 1$ "antene" deasupra membrului. Putem astfel determina perioada bulbului dat prin numărarea acestor antene.

perioade ciclice şi antene

[modifică] Generalizări

Uneori, punctele de conexitate ale familiilor altele decât cele pătratice sunt denumite şi mulţimile lui Mandelbrot ale acelor familii.

Locurile de conexitate ale familiilor polinomiale unicritice $f_c = z^d + c\,$ pentru $d > 2$ sunt deseori numite mulţimi Multibrot.

Mulţimi Multibrot de gradele 3 şi 4

Pentru familii generale de funcţii holomorfice, graniţa mulţimii lui Mandelbrot este generalizată în locul de bifurcaţie, care este un subiect de studiat chiar şi când locul de conexitate nu este util.

De asemenea, este posibil să se considere construcţii similare în studiul corespondenţelor neanalitice. Un interes particular îl reprezintă tricornul, locul de conexitate al familiei anti-holomorfice

$z \mapsto \bar{z}^2 + c.\,$

Tricornul (denumit şi mulţime Mandelbar) a fost descoperit de către Milnor în studiul său despre secţiunile de parametri ai polinoamelor cubice reale. Nu este local conex. Această proprietate este moştenită de către puntul de conexitate al polinoamelor cubice reale.

[modifică] Referinţe

↑ en Robert Brooks şi Peter Matelski, The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C), în "Riemann Surfaces and Related Topics", ed. Kra and Maskit, Ann. Math. Stud. 97, 65–71, ISBN 0-691-08264-2
↑ en Benoît Mandelbrot, Fractal aspects of the iteration of $z\mapsto\lambda z(1-z)\,$ for complex $\lambda,z\,$ , Annals NY Acad. Sci. 357, 249/259
↑ fr Adrien Douady şi John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
↑ en Mikhail Lyubich, Six Lectures on Real and Complex Dynamics, mai-iunie 1999
↑ en Mikhail Lyubich, Regular and stochastic dynamics in the real quadratic family, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, vol. 95, pag. 14025-14027, noiembrie 1998