Ensemble de Mandelbrot

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L'ensemble de Mandelbrot est une fractale qui est définie comme l'ensemble des points c du plan complexe pour lesquels la suite récurrente définie par :

z_n+1 = z_n² + c

et la condition z₀ = 0

ne tend pas vers l'infini (en module).

Si nous reformulons cela sans utiliser les nombres complexes, en remplaçant z_n par le couple (x_n, y_n) et c par le couple (a, b), alors nous obtenons:

x_n+1 = x_n² - y_n² + a

y_n+1 = 2x_ny_n + b.

L'ensemble de Mandelbrot a été créé par Benoît Mandelbrot et permet d'indicer les ensembles de Julia : à chaque point du plan complexe correspond un ensemble de Julia différent; ces points de l'ensemble de Mandelbrot correspondent précisément aux ensembles de Julia connexes, et ceux en dehors correspondent aux ensembles de Julia non connexes.

[modifier] Dessiner l'ensemble

Méthode Buddhabrot

Vue fixe d'un vidéo d'agrandissement progressif sur 0.001643721971153 + 0.822467633298876i

Il peut être démontré que dès que le module de z_n est strictement plus grand que 2 (z_n étant sous forme algébrique, quand x_n² + y_n²> 2²), la suite diverge vers l'infini, et donc c est en dehors de l'ensemble de Mandelbrot. Cela nous permet d'arrêter le calcul pour les points ayant un module strictement supérieur à deux et qui sont donc en dehors de l'ensemble de Mandelbrot. Pour les points de l'ensemble de Mandelbrot, i.e. les nombres complexes c pour lesquels z_n ne tend pas vers l'infini, le calcul n'arrivera jamais à terme, donc il doit être arrêté après un certain nombre d'itérations déterminé par le programme. Il en résulte que l'image affichée n'est qu'une approximation du vrai ensemble.

Bien que cela n'ait aucune importance sur le plan mathématique, la plupart des programmes générant des fractales affichent les points en dehors de l'ensemble de Mandelbrot dans différentes couleurs. La couleur attribuée à un point n'appartenant pas à l'ensemble dépend du nombre d'itérations au bout desquelles la suite correspondante est déclarée divergente vers l'infini (par exemple quand le module est strictement supérieur à deux). Cela donne plusieurs zones concentriques, qui entourent l'ensemble de Mandelbrot. Les plus éloignées sont constituées de points c pour lesquels la suite (z_n) tend «plus rapidement» vers l'infini. Ces différentes zones délimitent d'une manière plus ou moins précise l'ensemble de Mandelbrot.