משוואת שרדינגר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

יש לשכתב ערך זה
הסיבה לכך: בשל ההערות הצודקות של האלמוני בדף השיחה. זה בקושי מובן למי שכבר למד את הנושא. למי שלא זה ג'יבריש מוחלט. אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות בדף זה, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו.

משוואת שרדינגר (שידועה גם בשם משוואת הגלים של שרדינגר) היא משוואת התנועה היסודית של מערכות קוונטיות ומתארת כיצד מצב קוונטי מתפתח בזמן.

[עריכה] משוואת שרדינגר בצורתה הכללית

בכתיב הכללי ביותר (כתיב ברה-קט) משוואת שרדינגר נראית כך:

$\ E | \psi \rang = H | \psi \rang$

כאשר E הוא אופרטור האנרגיה.

במקרה שהפוטנציאל לא תלוי בזמן, ההצגה של משוואת שרדינגר הלא-יחסותית נראית כך:

$\ i \hbar \frac{d}{dt} | \psi \rang = H | \psi \rang$

במשוואה זו:

H הוא אופרטור ההמילטוניאן (שמייצג את האנרגיה של המערכת).
i הוא מספר היחידה הדימיוני, כלומר $\ i^2 = -1$ .
$\hbar$ הוא קבוע דיראק ("קבוע פלאנק המצומצם") והוא בעל יחידות של תנע זוויתי.

כאשר H בלתי תלוי מפורשות בזמן, הפתרון הכללי של משוואה זו הוא

$\ | \psi _{(t)} \rang = e^{-iHt/\hbar} | \psi _{(0)} \rang$

ואומרים שההמילטוניאן הוא היוצר של התפתחות המערכת בזמן.

את הפתרון הנ"ל אפשר לפתח בבסיס המצבים העצמיים של ההמילטוניאן. אם נסמן $\ H | n \rang = E_n | n \rang$ כאשר $E n$ הם האנרגיות העצמיות, אזי מאחר ש H הרמיטי מתקיימת אורתונורמליות של המצבים העצמיים: $\lang n | m \rang = \delta_{n,m}$ , ולכן אפשר להשתמש בפיתוח פורייה ולקבל ש

$| \psi _{(t)} \rang = \sum_{n}{ e^{-iE_n t/{\hbar}} | n \rang \lang n | \psi _{(0)} \rang }$

[עריכה] משוואת שרדינגר בבסיס המקום

בבסיס המקום במקום לדבר על מצב קוונטי ערטילאי, מדברים על המיקום והתנע של החלקיק. בעקבתו ניסוי שני הסדקים ועבודתו של לואי דה ברויי נוסח הרעיון שאת מיקומו של חלקיק ניתן לתאר כסופרפוזיציה של גלים שתיצור חבורת גלים הממורכזת סביב מיקומו ה"קלאסי" של החלקיק.

$\ \psi (\vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int{ \phi (\vec{p}) e^{{i \over \hbar} \vec{p} \cdot \vec{r}} \ dp}$

תיאור החלקיק על ידי פונקציית גל הסביר מדוע אלקטרונים יכלו לבצע התאבכות.

באופן פורמלי, פונקציית הגל $\ \psi (\vec{r})$ מוגדרת כהטלה של המצב הקוונטי של המערכת על בסיס המקום, כלומר: $\psi(\vec{r}) = \lang \vec{r} | \psi \rang$ .

בבסיס המקום (r), אופרטור התנע מוצג כ $\ p = \frac{\hbar}{i} \vec{\nabla}$ ולכן משוואת שרדינגר נהיית:

$\ i \hbar \frac{ \partial \psi (t,\vec{r})}{\partial t} = \frac{- \hbar ^2}{2m} \nabla ^2 \psi (t,\vec{r}) + V(\vec{r}) \psi (t,\vec{r})$

זוהי משוואה דיפרנציאלית חלקית שאפשר לפתור באמצעות הפרדת משתנים ותורת שטורם-ליוביל על ידי מציאת מצבים עצמיים של האנרגיה לחלק הבלתי תלוי בזמן.

[עריכה] פתרון המשוואה

השיטה לפתור את המד"ח (משוואה דיפרנציאלית חלקית) של שרדינגר היא באמצעות הפרדת משתנים. מנחשים פתרון מהצורה

$\psi (\vec{r}) = e^{-iEt/{\hbar}} \Psi (\vec{r})$

ואז עבור $Ψ$ מקבלים את משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן:

$E \Psi (\vec{r}) = \frac{- \hbar ^2}{2m} \nabla ^2 \Psi (\vec{r}) + V(\vec{r}) \Psi (\vec{r})$

זוהי משוואת ערכים עצמיים שאפשר לפתור באמצעות תורת שטורם ליוביל. למעשה אנחנו מחפשים פונקציות $Ψ n$ כך ש

$\ H \Psi_n = E_n \Psi_n$ ,

כלומר: פעולת אופרטור ההמילטוניאן עליהן פשוט מחזירה את הפונקציה כפול האנרגיה שלה. אנרגיות אלה (שהן הערכים העצמיים של המד"ר) נקראות "האנרגיות העצמיות" ואילו הפונקציות המתאימות להן נקראות "המצבים העצמיים". נעיר שאת המצבים העצמיים נהוג לנרמל, כלומר - לכפול במקדם סקלרי כך ש $\lang \Psi_n | \Psi_n \rang = 1$ . דרישת הנרמול נובעת מהפירוש ההסתברותי של מכניקת הקוונטים.

מאחר שזו משוואה לינארית, את הפתרון הכללי אפשר להציג כסופרפוזיציה של המצבים העצמיים, כלומר:

$\psi (t,\vec{r}) = \sum_{n}{ A_n \Psi_n (\vec{r}) e^{-\frac{i}{\hbar}E_n t}}$

מאחר ש H הוא אופרטור הרמיטי, מובטח לנו ממשפט הילברט שקיים בסיס של מצבים עצמיים אורתונורמליים, כלומר $\lang \psi_n | \psi_m \rang = \delta_{n,m}$ . לכן, ניתן להציג כל פונקציית גל במרחב הילברט של הבעיה כסכום (ליתר דיוק טור אינסופי) של המצבים העצמיים (לפיתוח כזה נהוג לקרוא פיתוח פורייה).

את מקדמי הפיתוח $A n$ ניתן לקבוע באמצעות ידיעת פונקציית הגל ההתחלתית (כלומר: $\ \psi (0,\vec{r})$ , באופן זהה לחלוטין הנעשה עבור טור פורייה כמו כן, נהוג לנרמל את פונקציית הגל כך ש: $\lang \psi | \psi \rang = 1$ .