Integración

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La integración es la fusión de las diferenciales debajo de una curva definida por una función matemática.

La integración se relaciona con dos problemas clásicos del Análisis Matemático, aparentemente no relacionados:

El cálculo de áreas y volúmenes, y la acción que una función de una o varias variables le aplica a las regiones antes mencionadas.

La obtención de la primitiva de una función, esto es, aquella cuya derivada es la función dada, realizando la "operación inversa" a la derivación

fue gracias a Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried Leibniz, quienes dieron forma al teorema fundamental del cálculo, que establece la íntima relación en la solución de ambos problemas. Siendo así, llámese integración definida a la obtención del area bajo una curva, e integración indefinida a la operación inversa de la derivación. También se denomina integración a la resolución de una ecuación diferencial, una ecuación en la que la incógnita es una o varias funciones y sus derivadas.

[editar] Integral indefinida

Dada una función F(x) tal que su derivada es F'(x) = f(x), entonces decimos que F es la integral o primitiva de f, definiendo así la integración como la inversa de la derivación. Simbólicamente, se denota por

$F(x) = \int f(x)dx$

Una función dada no tiene una única integral indefinida. Por ejemplo, para la función $f (x) = x + 2$ , las siguientes funciones son todas primitivas de la misma:

$\begin{matrix} F_1(x)=\frac{1}{2}x^2+2x \\ F_1(x)=\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{3}{2} \\ F_1(x)=\frac{1}{2}x^2+2x+\pi \end{matrix}$

En general, si F(x) es una primitiva de f(x), entonces cualquier función de la forma F(x)+c, siendo c una constante cualquiera, es también una primitiva de f(x).

[editar] Integral definida

Dada una función:

$y = f(x) \,$

se define la integral definida entre a y b de la función f como el área S y se denota por:

$S = \int_{a}^{b} f(x)dx$

Si se tiene una primitiva (integral indefinida) de la función f:

$\int f(x)dx = F(x)$

entonces

$S = F(b) - F(a) \,$

A esta relación entre la integral indefinida y la superficie bajo la función se le denomina Teorema fundamental del cálculo integral.

El desarrollo de la Teoría de la medida en la Matemática ha producido históricamente diversas definiciones del concepto de integral

La integración o sumas de Riemann, la más conocida.
La integración de Lebesgue, más general pero considerablemente más abstracta, por lo que fuera de los usos propiamente académicos es frecuente limitar el estudio del cálculo integral a los relacionados con la integral de Riemann, más intuitiva y suficiente para la mayoría de las aplicaciones prácticas.