Matriz invertible

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En matemáticas, y especialmente en álgebra lineal, una matriz A de dimensiones n×n se dice que es invertible, inversible o no singular si existe una matriz B de dimensiones n×n tal que

AB = BA = I_n,

donde I_n denota la matriz identidad de orden n (dimensiones n×n) y el producto utilizado es el producto de matrices usual. Una matriz no invertible se dice que es una matriz singular.

La inversa de la matriz A es única. Esto se denota por A^-1.

Tabla de contenidos

1 Prueba de que la inversa es única
2 Propiedades de la matriz inversa
3 Teorema sobre la inversibilidad de las matrices cuadradas
- 3.1 Demostración
  - 3.1.1 Necesidad
  - 3.1.2 Suficiencia

[editar] Prueba de que la inversa es única

Supongamos que B y C son inversas de A

$A B = B A = I$

$A C = C A = I$

Multiplicando por C

$(B A) C = I C = C$

$(B A) C = B (A C) = B I = B$

De modo que B=C y se prueba que la inversa es única.

La matriz inversa de A se denota por $A - 1$ y satisface la igualdad:

${A}\cdot {A^{-1}} = {A^{-1}}\cdot {A} = I$

Esta viene dada por:

${A^{-1}} = {1 \over {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}} \ (adj(A))^{T} \$

donde

${ {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}}$ = determinante de A
$\ adj{(A)} \$ = matriz de adjuntos de A
$\ (adj{(A)})^{T} \$ = matriz traspuesta de la adjunta de A

[editar] Propiedades de la matriz inversa

La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:

$\left (B \cdot A \right ) ^{-1} = {A}^{-1} \cdot {B}^{-1}$

Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:

$\left(A^{T}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{T}$

Y, evidentemente:

$\left(A^{-1}\right)^{-1} = A$

[editar] Teorema sobre la inversibilidad de las matrices cuadradas

Si A es una matriz de orden $n$ , entonces existe $B$ tal que $A B = B A = I$ si y sólo si el determinante de A es distinto de cero.

[editar] Demostración

se probará por doble implicación.

[editar] Necesidad $(\Rightarrow)$

Suponiendo que existe $B$ tal que $A B = B A = I$ . Entonces al aplicar la función determinante se obtiene

$\det\left(AB\right)=\det\left(BA\right)=\det\left(I\right)$

usando la propiedad $det(I) = 1$

$\det\left(A\right)\det\left(B\right)=1$

Por lo tanto, $det(A)$ es distinto de cero.

$\det\left(A\right)\neq0$

[editar] Suficiencia $(\Leftarrow)$

Suponiendo que el determinate de $A$ es distinto de cero, sea $a i j$ es el elemento ij de la matriz $A$ y sea $A i j$ la matriz $A$ sin la fila $i$ y la columna $j$ (comunmente conocida como $j$ -ésimo menor de A). Entonces

$\det(A)= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij})$

Sea $k\neq j$ , entonces

$\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ik}\det(A_{ij})=0$

Esta afirmación es válida propiedades de los determinantes, pues la parte izquierda de la relación nos conduce a una matriz con la columna $j$ igual a la columna $k$ y los demás términos iguales a los de $A$ . Entonces

$\delta_{jk}\det\left(A\right)= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}\det\left(A_{ij}\right)a_{ik}$