Ma trận khả nghịch

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong đại số tuyến tính, một ma trận khả nghịch là một ma trận vuông và có ma trận nghịch đảo trong phép nhân ma trận.

Mục lục

1 Định nghĩa
- 1.1 Ma trận đơn vị
- 1.2 Ma trận nghịch đảo
2 Các tính chất
3 Tìm ma trận nghịch đảo
4 Phương trình ma trận
5 Xem thêm

[sửa] Định nghĩa

[sửa] Ma trận đơn vị

Ma trân đơn vị cấp n trên vành có đơn vị V là ma trận vuông cấp n trong đó tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng đơn vị, tất cả các phần tử khác bằng không.

$E_n=\begin{bmatrix} 1 & 0 &\cdot&\cdot & 0 \\ 0 & 1 &\cdot&\cdot&0\\ \cdot & \cdot &\cdot &\cdot&\cdot \\ 0 & 0 &\cdot&\cdot & 1\end{bmatrix}$

Tính chất của ma trận đơn vị: với mọi ma trân vuông cùng cấp AE=EA=A.

[sửa] Ma trận nghịch đảo

Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả nghịch trên vành V nếu tồn tại ma trận A' cùng cấp n sao cho A A' = A' A = E. Khi đó A' được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu là A⁻¹.

[sửa] Các tính chất

Điều kiện cần và đủ để ma trận A vuông cấp n khả nghịch là định thức của A là phần tử khả nghịch trong vành V.
Nếu A là ma trận trên một trường F thì A là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0.
Ma trận đơn vị là ma trận khả nghịch.
Nếu A, B là các ma trận khả nghịch thì AB khả nghịch và $(A B) - 1 = B - 1 A - 1 .$
Tập hợp tất cả các ma trận vuông khả nghịch cấp n tạo thành một nhóm với phép nhân ma trận.

[sửa] Tìm ma trận nghịch đảo

[sửa] Định thức con và phần bù đại số

Cho ma trận vuông A cấp n và phần tử a_ij. Định thức của ma trận cấp n-1 suy ra từ A bằng cách xóa đi dòng thứ i, cột thứ j được gọi là định thức con của A ứng với phần tử a_ij, ký hiệu là M_ij.
Định thức con M_ij với dấu bằng (-1)^i+j được gọi là phần bù đại số của phần tử a_ij, kí hiệu là A_ij.

Ví dụ: Cho ma trận

$A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1\\0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ .

Khi đó

$A_{11}=(-1)^2 \begin{vmatrix}2 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix}=6$

Tương tự A₁₂=0; A₁₃=0; A₂₁=-3 ;A₂₂ ;A₂₃=0;A₃₁=-1 ;A₃₂=-1;A₃₃=2;

[sửa] Công thức tính ma trận nghịch đảo

Nếu định thức của ma trận A là khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A được tính bằng công thức:

$A^{-1}=\frac 1 {det(A)} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} &\cdot &A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} &\cdot &A_{n2}\\ \cdot & \cdot &\cdot &\cdot\\ A_{1n} & A_{2n} &\cdot &A_{nn} \end{bmatrix}$

[sửa] Ví dụ

Trong ví dụ trên, ta có

$A^{-1}=\frac 1 6 \begin{bmatrix} 6 & -3 & -1\\ 0 & 3 & -1\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ = $A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & -\frac 1 2 & -\frac 1 6\\ 0 & \frac 1 2 & -\frac 1 6\\ 0 & 0 & \frac 1 3 \end{bmatrix}$

[sửa] Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gauss-Jordang

Phương pháp Gauss-Jordang là một phương pháp số tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải đồng thời n hệ phương trình tuyến tính n ẩn có cùng ma trận hệ số. Chúng được giải cùng một lúc theo phương pháp khử dần các ẩn.

[sửa] Phương trình ma trận

[sửa] Xem thêm

Phép nhân ma trận
Ma trận đơn vị

Bài này còn sơ khai. Bạn có thể viết bổ sung. (Xin xem phần trợ giúp để biết thêm về cách sửa đổi bài.)

Lấy từ “http://vi.wikipedia.org../../../m/a/_/Ma_tr%E1%BA%ADn_kh%E1%BA%A3_ngh%E1%BB%8Bch.html”

Thể loại: Stub | Ma trận