Обратная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Обра́тная ма́трица — такая матрица A^-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

A A - 1 = A - 1 A = E

Не для каждой матрицы существует обратная. Квадратные матрицы, для которых это верно, называются обратимыми. Для неквадратных матриц и сингулярных матриц обратных матриц не существует.

Содержание

1 Свойства обратной матрицы
2 Способ нахождения обратной матрицы
- 2.1 Метод Гаусса
- 2.2 С помощью алгебраических дополнений
3 См. также

[править] Свойства обратной матрицы

$\det A^{-1} = \frac{1}{\det A}$
$(A B) - 1 = B - 1 A - 1$
$(A - 1)' = (A') - 1$

Если необходимо решить систему линейных уравнений $A x = b$ , где $x$ — искомый вектор, и если $A - 1$ существует, то $x = A - 1 b$ . В противном случае размерность пространства решений больше нуля.

[править] Способ нахождения обратной матрицы

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

[править] Метод Гаусса

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется приведена к виду A^-1.

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц $Λ i$ (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

$\Lambda_1 \cdot \dots \cdot \Lambda_n \cdot A = \Lambda A = E \Rightarrow \Lambda = A^{-1}$ .

Вторая матрица после применения всех операций станет равна $Λ$ , то есть будет искомой.

[править] С помощью алгебраических дополнений

Заменим в матрице A все элементы на их алгебраические дополнения, транспонируем полученную матрицу и разделим каждый элемент на определитель A. Полученная матрица будет искомой.