逆矩阵

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在线性代数中，給定一 $n$ 階方陣 $A$ ，若存在一 $n$ 階方陣 $B$ 使得 $A B = B A = I n$ ，其中 $I n$ 为 $n$ 階单位矩阵，則稱 $A$ 是可逆的，且 $B$ 是 $A$ 的逆矩陣，記作 $A - 1$ 。

[编辑] 性質

給定一個 $n$ 階方陣 $\mathbf{A}$ ，則下面的敘述都是等價的：

$\mathbf{A}$ 是可逆的。
$\mathbf{A}$ 的行列式不為零。
$\mathbf{A}$ 的秩等於 $n$ 。
$\mathbf{A}$ 的轉置矩陣 $\mathbf{A}^\textrm{T}$ 也是可逆的。
$\mathbf{A}^\textrm{T}\mathbf{A}$ 也是可逆的。
存在一 $n$ 階方陣 $\mathbf{B}$ 使得 $\mathbf{AB}=\mathbf{I}_n$ 。
存在一 $n$ 階方陣 $\mathbf{B}$ 使得 $\mathbf{BA}=\mathbf{I}_n$ 。

[编辑] 求法

[编辑] 伴随矩阵法

如果矩阵 $\mathbf{A}$ 可逆，则 $\mathbf{A}^{-1} = \frac{\mathbf{A}^*}{|\mathbf{A}|}$ 其中 $\mathbf{A}^*$ 是 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵

注意： $\mathbf{A}^*$ 中元素的排列特点是 $\mathbf{A}^*$ 的第 $k$ 列元素是 $\mathbf{A}$ 的第 $k$ 行元素的代数餘子式。

[编辑] 初等变换法

由条件 $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$ 以及矩阵乘法的定义可知，矩阵A和B都是方阵。再由条件 $\mathbf{AB}=\mathbf{I}$ 以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。

因为对矩阵 $\mathbf{A}$ 施以初等行变换(初等列变换)就相当于在 $\mathbf{A}$ 的左边(右边)乘以相应的初等矩阵，所以我们可以同时对 $\mathbf{A}$ 和I施以相同的初等行变换(初等列变换)。这样，当矩阵 $\mathbf{A}$ 被变为 $\mathbf{I}$ 时，I就被变为 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵 $\mathbf{B}$ 。