Teorema de Heine-Borel

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En el análisis matemático el teorema de Heine-Borel establece: Todo subconjunto de es cerrado y acotado si y solo si es compacto.

[editar] Teoremas Preliminares

1- Los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son compactos

Sea F un conjunto cerrado y K un conjunto compacto tales que .

Sea {G_a} una cubierta abierta de F, entonces es una cubierta abierta de K (podemos agregar F^c ya que es abierto). Como K es compacto entonces {G_a,F^c} tiene un refinamiento finito que también cubre a F. Podemos quitar a F^c y sigue cubriendo a F. Así obtenemos un refinamiento finito de cualquier cubierta abierta de F

2- Si , donde E es un conjunto infinito y K es compacto, entonces E tiene un punto de acumulación en K

Si E no tuviera puntos de acumulación en K entonces donde es una epsilon-vecindad y . Es claro que el conjunto de estas vecindades forman una cubierta par E pero no tiene un refinamiento finito, lo mismo cumpliría para K que contradiría la definición de que K es compacto.

3- Toda k-celda es compacta

Sea I una k-celda que consiste de todos los puntos x = (x₁,x₂,...,x_k) tal que y j = 1,2,...,k. Sea entonces si | x − y | < δ. Sea {G_a} una cubierta arbitraria de . Supongamos que I se puede cubrir con una cantidad finita de G_a's.

Tomemos entonces los intervalos [a_s,c_s][c_s,b_s] determinan 2^k celdas Q_ii = 1,2,...,2^k. Entonces por lo menos un Q_i no se puede cubrir con una cantidad finita de G_a's. Lo llamaremos S₁ y así obtenemos una sucesión {S_n} tal que:

• 1. .
  2. I_n no se puede cubrir con una cantidad finita de G_a's.
  3. Si entonces | x − y | < 2 ^{− n}δ.
  4. 

Digamos que , como cubre a I entonces . Como G_a es abierto . Si tomamos n suficientemente grande tal que tenemos que este , lo cual contradice la suposición de que no se puede cubrir con una cantidad finita de G_a's.

[editar] Demostración del teorema de Heine-Borel

Enunciado Si un conjunto tiene algunas de las siguientes propiedades, entonces tiene las otras dos.

• 1. E es cerrado y acotado.
  2. E es compacto.
  3. Todo subconjunto infinito de E tiene un punto de acumulación en E.

Demostración:

Si cumple 1) entonces para alguna k-celda I, y 1) implicaría 2) por los teoremas 1 y 3 anteriores.

Si se cumple 2), entonces se cumple 3) por el teorema 2 anterior.

Ahora falta demostrar que si cumple 3), entonces cumple 1): Si E no es acotado entonces contiene un conjunto {x_n} tal que | x_n | > n entonces el subconjunto {x_n} es infinito y no tiene un límite en , lo cual contradice 3). Si E no es cerrado entonces existe un elemento que es un punto de acumulación de E pero no está en E. Para n = 1,2,... existen tales que | x_n − x₀ | < 1 / n, entonces el conjunto {x_n} es infinito y no tiene límite contenido en él mismo, lo cual contradice 3).