Teorema di Heine-Borel
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
; allora:
Una conseguenza notevole di questo teorema è la compattezza della sfera in 
. Infatti questa è chiusa, poiché è un luogo di zeri di una funzione continua (ad esempio f(x) = | x | − 1), ed è limitata. Analogamente la palla unitaria chiusa di , essendo limitata e ovviamente chiusa, è compatta. Da ciò segue che , non essendo compatto, non è omeomorfo alla palla unitaria chiusa in esso contenuta.
In spazi infinito dimensionali il teorema di Heine-Borel è falso. Anzi, si può dimostrare che esso è vero se e solo se lo spazio è finito dimensionale.
