Stelling van Heine-Borel

Van Wikipedia

De stelling van Heine-Borel is een stelling uit de topologie die het verband aangeeft tussen compacte verzamelingen en de eigenschap van bepaalde verzamelingen om gesloten en begrensd te zijn. De stelling geldt niet algemeen, maar wel in (het veel voorkomende) $\mathbb{R}^p$

[bewerk] Te Bewijzen

Beschouw $\mathbb{R}^p$ met de gewone metriek. Stel $E\sube \mathbb{R}^p$ . Dan is E compact als en slechts als E gesloten en begrensd is.

[bewerk] Bewijs

Het bewijs bestaat logischerwijs uit twee delen: eerst nemen we aan dat E compact is, en bewijzen we dat E dan gesloten en begrensd is. Vervolgens bewijzen we de stelling in de andere richting.

Stel dus eerst dat E compact is. We gaan aannemen dat E niet begrensd zou zijn, om zo tot een tegenspraak te komen. Bekijk nu de familie F gedefineerd door $F = {B (0, r) | r > 0}$ . Dan is F een open overdekking van E. De unie van eindig veel elementen uit F is van de vorm $B (0, r)$ met $r > 0$ . Precies omdat E niet begrensd is kan F dus geen eindige deeloverdekking hebben.

Anderszijds, stel $E\sube \mathbb{R}^p$ en E niet gesloten. Dan bestaat er een $a \in E^c$ zodat elke open bol rond a punten met E gemeen heeft. Definieer nu een familie F door $F = \{ \overline {B(a,\delta)}^c| \delta > 0\}$ . De unie van alle elementen uit F is duidelijk gelijk aan $\mathbb{R}^p \setminus \{a\}$ en E is daar een deel van omdat $a \in E^c$ . De unie van eindig veel elementen uit F is van de vorm $\overline {B(a,\delta)}^c$ voor een zekere $δ > 0$ . Als nu $E \sube B(a,\delta)^c$ dan geldt dat $E \cap B(a,\delta) = \emptyset$ , en dat is onmogelijk! Immers, bij veronderstelling dat elke open bol, dus zeker ook elke gesloten bol, punten gemeen heeft met E. Er bestaat dus geen eindige deeloverdekking.

Het is nuttig op te merken dat dit deel van de stelling in een willekeurige metrische ruimte geldt.

Stel nu dat E gesloten en begrensd is. Stel dat F een open overdekking van E is. Onderstel dan dat eindig veel elementen van F nooit voldoende zijn om E te overdekken. We proberen nu om te komen tot een tegenspraak. Merk dat E zeker niet leeg is!

Omdat E begrensd is, bestaat er een p-dimensionale gesloten kubus $K 0$ die E volledig omvat. Noteer met d de lengte van de ribbe van deze kubus. Verdeel de kubus dan in $2 p$ gelijke gesloten kubussen met ribbe $d / 2$ door elke ribbe precies in twee te verdelen. De doorsnede van E met elk van deze kleinere kubussen is dan telkens een gesloten deelverzameling van E. Minstens één van de niet-lege delen van E kan niet overdekt worden door eindig veel elementen van F. Stel dat $E 1$ zo een deel is, noteer dan de bijbehorende kubus met $K 1$ .

Als we deze procedure herhalen, dan bekomen we een rij $(E n)$ van niet-lege gesloten verzamelingen zodat $E = E 0$ en zo dat $E_{n+1} \sube E_n$ voor elke n. Bovendien krijgen we ook een rij $(K n)$ van gesloten kubussen zo dat $E_n \sube K_n$ voor elke n en zo dat elke $K n$ een ribbe heeft met lengte $d / 2 n$ . We hebben dan de eigenschap dat geen enkele verzameling $E n$ overdekt kan worden door eindig veel elementen uit F.

Kies nu voor elke n een element $x_n \in E_n$ . Stel $n_0 \in \mathbb{N}$ . Als $n, m > n 0$ , dan geldt dat $x_n \in E_n \sube E_{n_0} \sube K_{n_0}$ en analoog dat $x_m \in K_{n_0}$ . Er volgt dan dat $\| x_n - x_m\|^2 \geq p(d/{2^{n_0}})^2$ . De rij $(x n)$ is dus een cauchyrij in $\mathbb{R}^p$ . We weten ook dat $\mathbb{R}^p$ volledig is, dus is $(x n)$ met een limiet x.

Kies $n_0 \in \mathbb{N}$ . Voor alle $n_0 \geq n$ geldt dan dat $x_n \in E_{n_0}$ . Omdat $E_{n_0}$ gesloten is volgt dat $x \in E_{n_0}$ .

Omdat $x \in E$ bestaat er een $A \in F$ zodat $x \in F$ . Omdat A open is, bestaat er dan een $δ > 0$ zodat $B(x,\delta) \sube A$ . Kies dan n zo dat $\sqrt{p}d/{2^n} < \delta$ . Omdat $x \in E_n$ vinden we dat $E \sube B(x,\delta)$ en dus geldt dat $E_n \sube A$ wat zou betekenen dat $E n$ overdekt wordt door één element van F. Dit is de tegenspraak waarmee het bewijs vervolledigd wordt.

Categorieën: Analyse | Wiskundige stelling

Stelling van Heine-Borel

Van Wikipedia

[bewerk] Te Bewijzen

[bewerk] Bewijs

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen