Théorème de Borel-Lebesgue

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En Topologie de $\mathbb{R}^n$ , le théorème de Borel-Lebesgue ou de Heine-Borel établit l'équivalence entre les deux propriétés suivantes d'un ensemble $A$ de vecteurs :

$A$ est fermé et borné ( $A$ est borné s'il existe une constante positive majorant la norme des tous les éléments de $A$ ) ;
$A$ vérifie la propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de $A$ par des ouverts de $\mathbb{R}^n$ on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Cette seconde propriété est en fait la définition générale d'un compact en topologie : un espace est compact si et seulement si il est séparé et a cette propriété. Le théorème de Borel-Lebesgue peut donc se lire : un sous-ensemble de $\mathbb{R}^n$ est compact si et seulement il est fermé et borné.

À cause de ce théorème beaucoup d'auteurs préfèrent définir les compacts de $\mathbb{R}^n$ comme les ensembles fermés et bornés de vecteurs. Dans ce cas le théorème se lit : un sous-ensemble de $\mathbb{R}^n$ est compact si et seulement il a la propriété de Borel-Lebesgue.

Le théorème peut se généraliser à tout espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, mais devient faux en dimension infinie.

[modifier] Démonstration

Montrons qu'un compact de $\mathbb{R}^n$ est fermé borné. Tout compact d'un espace topologique séparé est fermé, et tout compact est borné dans un espace métrique.

Montrons qu'un fermé borné est compact.

Pour cela montrons qu'un segment de $\R$ est compact. Soit $F$ un segment $[a, b]$ et $C$ un recouvrement ouvert de $F$ . Considérons alors l'ensemble $E$ des points $x$ de $F$ tels que $[a, x]$ admette un recouvrement fini extrait de $C$ . $E$ est non vide car il contient $a$ . $E$ est aussi majoré par $b$ borne supérieure de $F$ , il possède donc une borne supérieure $c$ . $E$ est ouvert dans $F$ car tout point $x$ de $E$ admet comme voisinage un intervalle ouvert contenant $x$ contenu dans l'ouvert du recouvrement fini contenant $x$ , et cet intervalle est naturellement contenu dans $E$ . La borne supérieure $c$ de $E$ est incluse dans $E$ car il existe un ouvert de $C$ contenant $c$ ; or l'union de cet ouvert et du recouvrement fini forme un nouveau sous-recouvrement fini contenant la borne supérieure. Le seul ouvert fermé non vide de $F$ est lui même, donc $E$ est égal $F$ . La propriété est démontrée pour les segments.

Un fermé borné de $\mathbb{R}^n$ est toujours inclus dans un produit de segments ; il suffit alors de remarquer que les parties fermées des compacts sont compactes.