Nombre primer

De Viquipèdia

Sistema de nombres en matemàtiques

Conjunts de nombres

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ

Naturals ℕ
Negatius
Enters ℤ
Racionals ℚ
Irracionals
Reals ℝ
Complexos ℂ

Nombres destacables

π ≈ 3,14159265...
e ≈ 2,7182818284...
Φ ≈ 1,6180339887...
i := $\sqrt{-1}$

Nombres amb propietats destacables

Primers $\mathbb{P}$ , Abundants, Amics, Compostos, Defectius, Perfectes, Sociables, Algebraics, Trascendents

Extensions dels
nombres complexos

Bicomplexos
Hipercomplexos
Quaternions $\mathbb{H}$
Octonions $\mathbb{O}$
Setenions
Super-reals
Hiper-reals
Sub-reals

Nombres Especials

Nominals
Ordinals {1r, 2n, ...} (d'ordre)
Cardinals $\{\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3,...\}$
Infinit $\infty$
Nombres infinits
Nombres transfinits

Altres nombres importants

Seqüència d'enters
Constants matemàtiques
Llistat de nombres
Nombres grans

Sistemes de numeració

Àrab, Armeni, Àtica (grega), Babilònica, Xinesa, Ciríl·lica, Egípcia, Etrusca, Grega, Hebrea, Índia, Jònica (grega), Japonesa, Jémer, Maia, Romana, Tailandesa

Numerals en base constant:

Binari (2)
Quinari (5)
Octal (8)
Decimal (10)
Duodecimal (12)
Hexadecimal (16)
Vigesimal (20)
Sexagesimal (60)

Els nombres primers són un subconjunt dels nombres naturals que engloba tots els elements d'aquest conjunt que només són divisibles per si mateixos i per la unitat. Els primers vint nombres primers són:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 i 71.

Noteu el fet que tots els nombres naturals són divisibles per si mateixos i per la unitat.

El nombre primer més petit és el 2 (per convenció, l'1 no es considera nombre primer) i, de fet, es pot demostrar que el 2 és l'únic nombre primer que és també parell.

El teorema fonamental de l'aritmètica estableix que qualsevol enter positiu pot representar-se sempre com un producte de nombres primers, i aquesta representació (factorització) és única. El teorema d'Euclides prova que existeixen infinits nombres primers. A més se sap que no hi ha límit per a la distància entre dos primers consecutius, això és, donat un nombre N, es poden trobar dos nombres primers a i b tals que entre a i b no hi ha altres nombres primers i que la diferència entre a i b és superior a N.

Encara no s'ha pogut provar, però es conjectura, que existeixen infinits nombres primers de la forma p₁ = p₂ + 2 (sent p₁ i p₂ primers) o primers bessons. Sí que s'ha provat que els únics primers trigèmins (primers de la forma p₁ = p₂ + 2 i p₂ = p₃ + 2) són 3, 5 i 7.

Taula de continguts

1 Demostració de la infinitud dels nombres primers
2 Classes de primers
3 Aplicacions per a la informàtica
4 Articles relacionats

[edita] Demostració de la infinitud dels nombres primers

La primera demostració de la infinitud dels nombres primers la proporcionà Euclides al llibre IX dels seus Elements. És un clàssic exemple de demostració per reducció a l'absurd:

Suposem que existeix un nombre finit de primers, i que P és el més gran d'ells. Construïm llavors el nombre (2·3·5·7·11·...·P) + 1, és a dir el producte de tots els nombres primers més u. Aquest nombre no és divisible per 2, ni per 3, ni per 5, ni, en definitiva, per cap nombre primer, ja que en tots els casos la divisió dóna 1 com a resta. Per tant només pot ser que P sigui primer o que sigui divisible per un altre nombre primer que està entre P i (2·3·5·7·11·...·P) + 1; en qualsevol dels dos casos hem trobat un nombre primer més gran que P, contradient la suposició inicial i, per tant, demostrant el teorema.

[edita] Classes de primers

Nombre primer de Mersenne (de forma M_p = 2^p - 1 on p és primer)

Nombre primer de Sophie Germain (un p primer tal que 2p + 1 és primer)

Nombres primers bessons (p i p + 2 primers)

Nombre primer de Fermat (de forma $2^{2^{n}} + 1$ )

[edita] Aplicacions per a la informàtica

L'algorisme RSA es basa en l'obtenció de la clau pública mitjançant la multiplicació de dos nombres grans (majors que 10¹⁰⁰) que siguin primers. La seguretat d'aquest algorisme radica en el fet que no hi ha maneres ràpides de factoritzar un nombre gran en els seus factors primers utilitzant ordinadors tradicionals. La computació quàntica podria proveir una solució a aquest problema de factorització.

Els primers de Mersenne es troben entre els més grans (2^13466917-1, quatre milions de dígits, fins l'agost de 2003).