Abstrakti algebra
Wikipedia
Abstrakti algebra on matematiikan osa-alue joka tutkii algebrallisia rakenteita kuten ryhmiä, renkaita ja kuntia. Käsitettä abstakti algebra ei tule sekoittaa "alakoulun algebraan", joka tutkii sääntöjä joilla muokataan kaavoja ja algebrallisia lausekkeita, joissa luvut ovat reaali- tai kompleksilukuja.
[muokkaa] Historiaa ja esimerkkejä
Historiallisesti algebralliset rakenteen ovat usein esiintyneet ensimmäistä kertaa muualla matematiikassa kun itse abstaktissa algebrassa. Kun uusi käsite on todettu hyödylliseksi erottaa alkuperäisestä asiayhteydestä, se on voitu aksiomatisoida ja sitä on voitu tutkia abstraktin algebran keinoin. Tämän vuoksi abstaktilla algebralla on monia yhteyksiä muihin matematiikan osa-alueisiin.
Esimerkkejä algebrallisista rakenteista joissa on annettu yksi laskutoimitus:
- magmat
- monoidit
- puoliryhmät
- ryhmät.
Monipuolisempia algebrallisia rakenteita:
- renkaat ja kunnat
- moduulit ja vektoriavaruudet
- assosiatiiviset algebrat ja Lien algebrat
- lattiisit ja Boolen algebrat
Kaikki yllä olevat esimerkit yhdessä kunkin algebrallisen rakenteen homomorfismien kanssa muodostavat kategorian, ja kategoriateoria antaa mahdollisuuden vertailla erilaisia algebrallisia struktuureja.
