Абстрактна алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Абстра́ктна або ви́ща а́лгебра — це галузь математики, зосереджена на вивченні властивостей аксіоматично впроваджених алгебраїчних структур. В сучасній науковій літературі називається просто алгебра. Ознака "абстрактна" підкреслює, що об'єктами вивчання є абстрактні структури, такі як групи, поля, кільця і модулі, на відміну від алгебраїчних виразів, що вивчаються в елементарній ("шкільній") алгебрі. Абстрактна алгебра сформувалася протягом другої половини 19 і першої чверті 20 століття і була вперше систематично викладена в монографії "Moderne Algebra" ван дер Вардена (1930 р.). Алгебраїчна точка зору вчинила надзвичайно великий вплив на розвиток багатьох інших галузей математики в 20 столітті, зокрема теорії чисел, топології, алгебраїчної геометрії і функціонального аналізу.

[ред.] Короткий історичний нарис

Приблизно до другої половини 19 століття в алгебраїчних дослідженнях більше уваги надавалося конкретним об'єктам, що вивчалися методами, спеціально пристосованими до нагальної ситуації, ніж загальним концепціям. Наведемо такі приклади:

кільце $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ залишків цілих чисел $(\!\!\!\!\!\mod N)$ (Л.Ейлер)
група $S 4$ всіх перестановок корней рівняння четвертого степеня (Ж.Лагранж)
кільця $\mathbb{Z}[x]$ поліномів однієї змінної з цілими коєфіцієнтами і $\mathbb{Z}[i]$ Гаусових цілих чисел (К.Гаус).

Але згодом на перший план вишли власне структури групи, кільця і т.п. Це дозволяє розглядати, наприклад, будь-яку групу підстановок $G < S n$ як абстрактну групу, тобто як множину з операціями, що задовільняє певній системі аксіом, і доводити загальні теореми про групи, які, зокрема, стосуються конкретної групи $G$ (Н.Абель, Е.Галуа). Саме впровадження загальної аксіоматичної точки зору на алгебраїчні об'єкти варто вважати початком абстрактної алгебри як незалежної дисципліни. Згодом були дани аксіоматичні означення поля, кільця, лінійного простору, алгебри Лі, тощо і було розпочато дослідження всіх цих структур.

Величезний внесок до розвитку абстрактної алгебри у 1890—1930 р.р. зробили Д.Гільберт, Е.Артін та Е.Нетер, що застосували аксіоматичний метод для вивчення комутативних кілець і модулей над ними і отримали низку потужних результатів. Ці дослідження з абстрактної алгебри, разом із деякими попередніми дослідженнями Л.Кронекера, Р.Дедекінда було вперше систематично піднесено у надзвичайно впливовій монографії "Сучасна алгебра" ("Moderne Algebra") ван дер Вардена, перше видання якої з'явилося в 1930-31 р.р.

Починаючи з робот Д.Гільберта з теорії інтегральних операторів на початку 20 ст. і Дж. фон Неймана з кілець операторів у 1930 р.р., методи абстрактної алгебри знайшли плідне застосування в аналізі, а згодом і в інших галузях математики. Потреби нової фізики, насамперед, квантової теорії, спричинили як розповсюдження деяких алгебраїчних ідей поза межами алгебри, напр. групи, операторів з некомутативним множенням, тобто некомутативного кільця, так і подальший розвиток самої алгебри.

В середині 20 століття, походячи з ідей з алгебраїчної топології, алгебраїчні структури почали розглядадати з позицій теорії категорій (С.Ейленберг—С.Маклейн). Це надало змогу вивчати не тільки структури одного типу, що утворюють категорію, але і певні відображення між категоріями, так звані функтори, і, найбільш абстрактно, природні перетворення між функторами. Неперевершеним майстром категорної алгебри був O.Гротендік, який застосував її для створення підвалин сучасної алгебраїчної геометрії і теорії топосів.

Чимало досліджень в алгебрі за останні 40-50 років належать до кількох добре влаштованих основних галузей, таких як теорія груп, комутативна алгебра, або теорія кілець. З новіших підрозділів абстрактної алгебри відзначимо алгебраїчну комбінаторіку, що на цей час перетворилась на самостійну дисципліну, наближені до топології теорію операд і гомотопічну алгебру, і, нарешті, теорію квантових груп, впроваджених В.Дрінфельдом, порівняно новий розділ алгебри, що зазнав бурхливого розвитку протягом останніх двох десятирічь.

[ред.] Основні структури сучасної алгебри

Множина
Група
Кільце (або асоціативна алгебра)
Модуль
Поле
Лінійний простір
Алгебра (кільце) Лі

Чимало алгебраїчних структур виникають як підкласи перелікованих вище, що задовільняють додатковим аксіомам, наприклад, булеві алгебри, комутативні групи або кільця. Інші, такі як частково впорядковані множини, ґратки, пуасонови алгебри та алгебри Хопфа мають ще й додаткові операції. Є також чимало структур, що не знайшли широкого застосування поза межами алгебри, наприклад лупи.

[ред.] Підрозділи абстрактної алгебри

Теорія груп займається вивченням властивостей абстрактних груп та їх зображеннь.

Лінійнa алгебра розглядає лінійні пространства і лінійні оператори між ними.

Комутативна алгебра вивчає властивості комутативних кілець та модулів над ними. Вона має щільні зв'язки з алгебраїчною геометрією і алгебраїчною теорією чисел. До комутативної алгебри можна віднести теорію полей і теорію Галуа.

Теорія кілець розглядає довільні (некомутативні) кільця і асоциативні алгебри.

Диференціальна алгебра вивчає алгебраїчні властивості систем діференційних рівняннь.

Гомологічна алгебра вивчає категорії модулей за допомогою комплексів, або діференційних градуїрованих модулей.

Універсальна алгебра, що близька до математичної логіки, розглядає довільні алгебраїчні структури, задані системою аксіом.

Теорія категорій надає можливість вивчати різноманітні алгебраїчні концепції та взаємодію між ними в найбільш абстрактному сенсі.

Теорія груп широко застосується як в математиці, наприклад, в геометрії, топології, гармонічному аналізі і теорії диференційних рівнянь, так і поза її межами, в таких галузях як кристалографія, квантова фізика і квантова хімія. Лінійнa алгебра відіграє неабияку роль майже в усіх галузях математики, а також в математичній економіці. З інших розділів абстрактної алгебри, гомологічна алгебра і теорія категорій мають плідні зв'язки з алгебраїчною топологією.