Primitive (mathématiques)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Pour les articles homonymes, voir Primitive.

Cet article est une ébauche à compléter concernant l'analyse (branche des mathématiques), vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant.

Cet article fait partie de la série
Primitives de fonctions

Circulaires réciproques

Hyperboliques réciproques

En mathématiques, une primitive (ou antidérivée, de l'anglais antiderivative) d'une fonction f d'une variable réelle est une fonction F telle que pour tout x, la dérivée de F(x) est égale à f(x) :

$\forall x \in \R,\quad F\,'(x) = f(x)$

Une condition suffisante pour qu'une fonction f admette des primitives sur un intervalle est qu'elle y soit continue.

Si f est une fonction admettant une primitive F sur un intervalle I, alors pour tout réel k, une primitive de kf sur l'intervalle I est kF.

Si F et G sont des primitives respectives de deux fonctions f et g, alors une primitive de f+g est F+G.

Si une fonction f admet une primitive sur un intervalle, elle en admet une infinité, qui diffèrent d'une constante :
si F₁ et F₂ sont deux primitives de f, alors il existe un réel k₀ tel que F₁=F₂+k₀.

Si F est une primitive de f, alors

$F(b)-F(a) = \int^b_a f(x)\;\mathrm dx$

Sommaire

1 Exemples
2 Calcul automatique
3 Primitives courantes
- 3.1 Fonctions simples
- 3.2 Fonctions composées
4 Voir aussi

[modifier] Exemples

Polynômes et fonctions rationnelles

Une primitive de la fonction ƒ(x) = 2·x est F(x) = x ²
Une primitive de la fonction g(x) = 4·x³ est G(x) = x ⁴
Une primitive de la fonction (ƒ+g)(x) = 2·x + 4·x ³ est (F + G)(x) = x ² + x ⁴
Une primitive de la fonction ƒ(x) = x ⁿ est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ pour n réel différent de -1.
Une primitive de la fonction inverse ƒ(x) = $\frac{1}{x}$ est la fonction logarithme népérien ln(x).
Dans le cas général, il n'y a pas de manière simple d'avoir la primitive d'une fraction rationnelle sauf si on arrive à la décomposer en éléments simples.

Fonctions trigonométriques

Une primitive du cosinus est la fonction sinus.
Une primitive du sinus est l'opposé de la fonction cosinus.

Autres

Une primitive de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même.

[modifier] Calcul automatique

Des logiciels comme Maple ou Mathematica permettent depuis quelques années de calculer interactivement certaines primitives sous forme symbolique. Le premier logiciel permettant d'effectuer de l'intégration assistée par ordinateur sous forme symbolique était le langage FORMAC, utilisé par les physiciens dans les années 1970.

[modifier] Primitives courantes

Voir l’article table de primitives.

Pour le premier tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche la primitive, la deuxième est son domaine de dérivation et la troisième, la primitive correspondante à cette fonction.

Pour le second tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche la primitive et la seconde, la primitive correspondante à la fonction

[modifier] Fonctions simples

*Tableau des primitives simples*
f(x)	$D D$	F(x)
$0$	$\mathbb {R}$	$C$
$a x + b$	$\mathbb {R}$	$\frac{ax^2}{2}+bx+C$
$x n$ $(\forall {n}\in \mathbb{R}$ et $n\ne-1$ )	$\mathbb {R^}$ si $n \ge 0$ ; $\mathbb {R^_+}$ sinon	$\frac {x^{n+1}}{n+1}+C$
$\sqrt{x}$	$\mathbb {R^*_+}$	$\frac 2 3 x\sqrt{x} +C$
$\frac {1}{x}$	$\mathbb {R^*_+}$	$ln x + C$
$\frac {1}{2\sqrt{x}}$	$\R^*_+$	$\sqrt{x}+C$
$- \frac {1}{x^2}$	$\mathbb {R^*}$	$\frac {1}{x}+C$
$sin x$	$\mathbb {R}$	$- cos x + C$
$cos x$	$\mathbb {R}$	$sin x + C$
$\frac {1}{\cos^2{x}}$	$\mathbb {R}- \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}$	$tan x + C$
$-\frac {1}{\sin^2{x}}$	$\mathbb {R}- \left\{k\pi\right\}$	$\operatorname{cotan} {x}+C$
$e x$	$\mathbb {R}$	$e x + C$
$ln x$	$\mathbb {R^*_+}$	$x ln x - x + C$

[modifier] Fonctions composées

Soient u et v deux fonctions

*Tableau des primitives composées*
f(x)	F(x)
$\lambda u^\prime$	$λ u + C$
$u^\prime + v^\prime$	$u + v + C$
$-\frac{u^\prime}{u^2}$	$\frac {1}{u}+C$
$(u^n)\times(u^\prime)$	$\frac {u^{n+1}}{n+1}+C$
$\frac {u^\prime}{2\sqrt{u}}$	$\sqrt {u}+c$
$\sin u \times u^\prime$	$- cos u + C$
$\cos(\omega x+\varphi)$	$\frac{1}{\omega}\sin(\omega x+\varphi)$
$\sin(\omega x+\varphi)$	$-\frac{1}{\omega}\cos(\omega x+\varphi)$
$\left\{\begin{matrix} (v\circ u)^\prime \\ v^\prime(u) \times (u^\prime)\end{matrix}\right.$	$(v\circ u)+C$
$\frac{u^\prime}{u}$	$ln \| u \| + C$
$e^u \times u^\prime$	$e u + C$
$\left\{\begin{matrix} \tan x \\ \frac{\sin {x}}{\cos {x}}\end{matrix}\right.$	$- ln \| cos x \| + C$