מונואיד (מבנה אלגברי)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

מונואיד (או: יחידון) הוא מבנה אלגברי הכולל קבוצה, פעולה בינארית אסוציאטיבית, ואיבר יחידה. למונויד חסרה אקסיומה אחת כדי להפוך לחבורה: ההנחה שכל האיברים הפיכים.

דוגמאות למונואידים

אוסף המורפיזמים מאובייקט בקטגוריה לעצמו, עם פעולת ההרכבה, הוא מונואיד. למשל:
- אוסף הפונקציות מקבוצה לעצמה, הוא מונואיד ביחס לפעולת ההרכבה.
- אוסף ההומומורפיזמים מחבורה לעצמה, הוא מונואיד ביחס לפעולת ההרכבה.
- אוסף ההומומורפיזמים מחוג לעצמו, הוא מונואיד ביחס לפעולת ההרכבה.
- אוסף ההומיאומורפיזמים ממרחב טופולוגי לעצמו, הוא מונואיד ביחס לפעולת ההרכבה.
אם R הוא חוג, אז הוא מונואיד ביחס לפעולת הכפל.
האוסף של מלים סופיות באלף-בית X, ביחס לפעולת ההדבקה (זהו המונואיד החפשי על X, ראו חבורה חופשית).

[עריכה] איברים במונואיד

במונואיד, איבר a הוא 'הפיך מימין' אם קיים c כך ש- ac=1 (אז c נקרא 'הפכי מימין' של a), ו'הפיך משמאל' אם קיים b כך ש- ba=1 (אז b 'הפכי משמאל' של a). ייתכנו במונואיד איברים שהם הפיכים מימין אבל לא משמאל, או להיפך. ההפכי מימין אינו בהכרח יחיד, וכן להפכי משמאל. לעומת זאת, איבר שהוא גם הפיך מימין וגם הפיך משמאל מוכרח להיות הפיך (כלומר, קיים d כך ש- ad=da=1), ואז יש לו הפכי יחיד מימין השווה להפכי היחיד משמאל; איבר זה נקרא ה'הפכי' של a ומסומן ב- $\ a^{-1}$ .

מונואיד שבו כל האיברים הפיכים נקרא חבורה. אומרים שמונואיד מקיים 'צמצום משמאל' אם מהשוויון ab=ac נובע b=c (ובאופן דומה מגדירים צמצום מימין). אם המונואיד מקיים גם צמצום מימין וגם משמאל, הוא נקרא 'מונואיד עם צמצום'. מונואידים עם צמצום הם בעלי מבנה קרוב לזה של חבורות, אם כי לא כל מונואיד עם צמצום הוא חבורה. גרוע מכך, לא כל מונואיד עם צמצום ניתן לשיכון בחבורה (לעומת זאת, מונואיד קומוטטיבי עם צמצום כן ניתן לשיכון בחבורה, על-ידי בניה דומה לזו של המספרים השלמים מתוך הטבעיים).

[עריכה] מבנים במונואיד

במונואיד אפשר להגדיר תת-מונואיד בדומה לתת-חבורה של חבורה: תת-קבוצה S, המכילה את איבר היחידה, מהווה תת-מונואיד אם היא סגורה לכפל (כלומר, לכל $\ a,b \in S$ גם $\ ab\in S$ ). אוסף האיברים ההפיכים במונואיד מהווה תת-מונואיד, שהוא גם חבורה (זו נקראת 'חבורת ההפיכים במונואיד'). בדומה להגדרה בחוגים, אפשר להגדיר במונואיד אידאל (ימני, שמאלי, או דו-צדדי), וגם 'מונואיד מנה' ביחס לאידאל.

[עריכה] מונואידים סופיים

הסרת האקסיומה על קיום הפכיים גורם לכך שהמבנה של מונואידים הרבה יותר מסועף מזה של חבורות. לשם המחשה, ישנם 2237 מונואידים שונים בעלי ששה אברים (ורק שתי חבורות מסדר זה).

מונואיד סופי עם צמצום משמאל הוא חבורה. הוכחה: יהי $\ M$ מונואיד כזה. לכל $\ a\in M$ , הפונקציה $\ f:M\rightarrow M$ המוגדרת על-ידי $\ f(x)=ax$ היא פונקציה הפיכה (לפי הצמצום), ולפי הסופיות היא מוכרחה להיות על. בפרט קיים איבר $\ b\in M$ כך ש- $\ ab=f(b)=1$ , ובמלים אחרות כל איבר a הוא הפיך מימין. בפרט, האיבר b המקיים $\ ab=1$ הפיך מימין, אבל השוויון מראה שהוא גם הפיך משמאל. כאיבר הפיך מימין ומשמאל הוא הפיך, ו- a הוא ההפכי שלו. לכן גם a הפיך, ו- M הוא חבורה.