בור פוטנציאל אינסופי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

גרף של פוטנציאל (כלשהו). נקודת המינימום המוקפת ב"הרים" נקראת בור פוטנציאל.

בור פוטנציאל אינסופי הינו דימוי בפיזיקה קוונטית למצב קוונטי של חלקיק בקופסא בעלת פוטנציאל אינסופי בדפנות. כלומר: החלקיק תחום באזור מסוים וסופי של המרחב ואיננו יכול לצאת ממנו, אפילו לא על ידי מנהור קוונטי. באופן כללי, בור פוטנציאל הוא אזור של פוטנציאל נמוך שסביבו פוטנציאל גבוה (כלומר: אזור של מינימום מקומי) ולכן החלקיק שואף להישאר בתוך הבור.

בפועל, כמובן שזהו רק קירוב לבור פוטנציאל מחיי היום יום. הסיבה שמשתמשים בו היא שלעתים רבות זהו קירוב מספיק טוב והפתרון שלו פשוט יחסית (מחסום או בור פוטנציאל סופי מוליך בדרך כלל למשוואות טרנסצנדנטליות שאינן פתירות אנליטית). סיבה נוספת לשימוש בקירוב זה היא הפיכת מרחב הילברט של מצבי החלקיק למרחב ספרבילי על ידי מעבר מבסיס מקום רציף (של מרחב אינסופי) לבסיס מקום בן מניה (של מרחב סופי וחסום).

[עריכה] חלקיק בקופסה

איור סכמטי של חלקיק בבור פוטנציאל אינסופי (קופסה בעלת דפנות אלסטיות לחלוטין).

"חלקיק בקופסה" הוא מקרה פרטי של בור פוטנציאל אינסופי. הוא מתאר חלקיק התחום לאזור סופי של המרחב, אך בתוכו הוא יכול לנוע באופן חופשי ללא השפעת כוח כלשהו. באופן מתמטי, אם החלקיק תחום לנוע בנפח S סופי במרחב, בור פוטנציאל אינסופי יתואר על ידי

$\ V(\vec{r}) = f(n)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{if } \vec{r} \in S \\ \infty & \mbox{if } \vec{r} \notin S \end{matrix}\right.$

כאשר נשתמש במודל דה-ברולי ונשליך על החלקיק את ההשפעות הגליות נקבל כי בדפנות הבור פונקציית הגל (שריבוע האמפליטודה שלה פרופורציוני להסתברות הקוונטית) מתאפסת ויש הגבלה על האנרגיות העצמיות המותרות במערכת. למעשה, מציאת ספקטרום רמות האנרגיה של המערכת שקול לפתרון בעיית שטורם-ליוביל הבאה: משוואת שרדינגר עם תנאי שפה של התאפסות בדפנות הקופסא (על השפה).

ניתן להראות שעבור בור אינסופי חד-ממדי שקצוותיו הם $\ \pm a/2$ הפונקציות העצמיות הן

$\ \lang x | \psi_n \rang = \psi_n(x) = \sqrt{a/2} \cos{ ( n \pi x / a)} \quad \ n \ \mbox{is odd}$

$\ \lang x | \psi_n \rang = \psi_n(x) = \sqrt{a/2} \sin{ ( n \pi x / a)} \quad \ n \ \mbox{is even}$

מתוכן פונקציות הקו סינוס הן סימטריות (זוגיות) ביחס למרכז הבור,ופונקציות הסינוס הן אי סימטריות (אי זוגיות) ביחס למרכז הבור. האנרגיות העצמיות המתאימות לכ"א מפונקציות הגל הן

$\ E_n = \frac{ \hbar^2 \pi^2 n^2}{2 m a^2}$