יחס הזהב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

יחס הזהב (או חתך הזהב) הוא קבוע מתמטי המעסיק את המדע והאמנות כבר מאות בשנים. לפי ההשערות נמצא יחס זה על ידי אחד מתלמידיו של פיתגורס, ותיאורו מופיע בספרו של אוקלידס, "יסודות", כבר לפני 2,300 שנים בקירוב. יחס הזהב, שערכו כ-1.618, הוא יחס של מידות וגדלים רבים בטבע והחל מתקופת יוון הקלאסית הוא גם משמש באמנות ובאדריכלות. רבים רואים בו מספר מיסטי אשר עצם קיומו מוכיח כי העולם הוא מעשה בריאה מתוכנן.

תוכן עניינים

1 הגדרה
- 1.1 הצגה גאומטרית של ההגדרה
- 1.2 הצגה אלגברית של ההגדרה
2 מלבן הזהב
3 תחומים בהם מופיע יחס הזהב
4 היסטוריה
5 ראו גם
6 לקריאה נוספת
7 קישורים חיצוניים

[עריכה] הגדרה

[עריכה] הצגה גאומטרית של ההגדרה

שני גדלים מקיימים את יחס הזהב אם היחס בין סכום הגדלים לבין הגדול מביניהם שווה ליחס שבין הגדול מביניהם לקטן מביניהם. בנוסחה:

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$

באותה מידה, יחס הזהב מתקיים כאשר היחס בין הגדול לקטן שווה ליחס שבין הקטן לבין הפרש הגדלים. בנוסחה:

$\frac{a}{b} = \frac{b}{a-b}$

על הקטע AB מסמנים נקודה C כך שהקטע AC ארוך מהקטע BC. אם היחס בין אורכו של הקטע AB לאורך הקטע AC שווה ליחס שבין הקטע AC לקטע BC, הרי זהו "יחס הזהב", שנהוג לסמנו באות היוונית $φ$ .

[עריכה] הצגה אלגברית של ההגדרה

אם נסמן את היחס הנ"ל ב- $φ$ , נקבל משוואה אלגברית $\ \phi = 1 + \frac{1}{\phi}$ . משוואה זו שקולה למשוואה הריבועית הבאה : $\phi^2 = \phi + 1\$ שלה פתרון חיובי ופתרון שלילי. מאחר שזה יחס נבחר את הפתרון החיובי, וערכו, כפי שנובע מההגדרה, הוא:

$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398874989484...$

זהו המספר הממשי החיובי היחיד שמקיים:

$\phi^2 = \phi + 1\$

מאפיין זה שקול למאפיין:

$\phi-1=\frac{1}{\phi}$

מספר זה הוא מספר אי רציונלי. עובדה זו נובעת מכך שהמספר $\sqrt{5}$ הוא אי רציונלי, או על ידי הוכחה גאומטרית ישירה.

[עריכה] מלבן הזהב

היוונים הקדמונים והמצרים הקדמונים התייחסו אל יחס הזהב כאל יחס אסתטי במיוחד, ולכן ניתן למצוא יחס זה במבנים מהעולם העתיק, כגון הפרתנון באתונה, וביצירות אמנות. אחת הסיבות לתחושת היופי שמעניק יחס זה ניכרת במלבן הזהב, מלבן שהיחס בין צלעותיו הוא יחס הזהב.

אם נחתוך ממלבן זה את הריבוע B, החלק שיוותר מקיים אף הוא את יחס הזהב בין צלעותיו. חזרה הולכת ונשנית על פעולה זו יוצרת סדרה של מלבני זהב. ציור של רבע עיגול בכל אחד מהריבועים שהורדנו בתהליך זה יוצר קו עקום שקרוב מאוד בצורתו לספירלה הלוגריתמית:

θ = (π/2log(φ)) × log r.

[עריכה] תחומים בהם מופיע יחס הזהב

יחס הזהב מופיע בעולם בתחומים שונים: בגאומטריה, בבוטניקה, בתצורות של גבישים, בסידור העלים סביב הגבעול, במיקום הזרעים בתפוח, באיצטרובל של אורן, בהיערכות זרעי החמנייה בתפרחת, בעלי הכותרת בוורד, בדגלי מדינות, בפנטגרם, בקרני צבאים, בצורה הלוליינית של קונכיית הנאוטילוס ושל מוזיאון גוגנהיים, בבורסת המניות, ביצירות אמנות כמו בתמונותיהם של ציירים ידועים, ובהליכים מסוימים בפסיכולוגיה.

המנה של כל שני איברים רצופים (גדולים) בסדרת פיבונאצ'י שואפת ליחס הזהב. לדוגמה: 21 ו-34 הם שני מספרי פיבונאצ'י עוקבים. אם נחלק 34 ב-21 נקבל 1.619. ככל שנחלק מספרי פיבונאצ'י גדולים יותר, כך תתקרב המנה ליחס הזהב, אך היא לא תגיע לערך המדויק לעולם, שכן $\ \phi$ הוא מספר אי רציונלי.

כמו כן, יחס הזהב שווה לשני הביטויים הבאים:

$\ \phi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}$
$\ \phi = 1 + \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}$

[עריכה] היסטוריה

יחס הזהב בחזית הפרתנון

השימוש בפרופורצית יחס הזהב החל כבר באדריכלות של יוון הקלאסית. מבנים קלאסיים כגון הפרתנון באתונה נבנו בפרופורצית חתך הזהב.

בימי הביניים נעשה שימוש ביחס הזהב באדריכלות האיסלאמית. לדוגמה, כיפת הסלע בירושלים נבנתה במידות פרופורציונאליות מדויקות התואמות את יחס הזהב בדיוק.

יחס הזהב נחשב באמנות כפרופורציה המושלמת והיפה ביותר שאדם יכול לתאר. אמני הרנסאנס בתחום הציור, הפיסול והאדריכלות השתמשו בפרופורציות אלה כדי להשיג את מה שנחשב ליופי המושלם. פרופורציות של חתך הזהב ניתן למצוא בשפע בציוריו של לאונרדו דה וינצ'י ושל אמנים גדולים אחרים.

אנשי הרנסאנס פיירו דלה פרנצסקה ולוקה פאצ'ולי כתבו שניהם ספרים העוסקים ביחס הזהב. ספרו של פאצ'ולי "הפרופורציה האלוהית" אוויר על ידי לאונרדו דה וינצ'י.

כיום נעשה שימוש במלבן הזהב באדריכלות ובגרפיקה. מספר בניינים מודרנים נבנו בעולם לפי פרופורצית יחס הזהב. למשל, היחס בין גובהו (152 מטר) ורוחבו (95 מטר) של בניין האו"ם בניו יורק הוא היחס 1.621 שקרוב מאוד לחתך הזהב. כרטיסי אשראי וכרטיסים מגנטיים נוספים שנמצאים בשימוש יומיומי אצל מאות מיליוני אנשים ברחבי העולם הם דוגמה נוספת למלבן הזהב.