סכום ישר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, סכום ישר היא הרכבה של שני אובייקטים או יותר, שתוצאתה אובייקט גדול יותר מאותו סוג. הדוגמה החשובה ביותר היא בניה של מבנים אלגבריים כמו מרחב וקטורי או מודול, ואז הסכום הישר הוא המבנה הקטן ביותר שמכיל את כל המרכיבים ללא 'הפרעות' הדדיות (ראה דוגמאות בהמשך). בנוסף, מגדירים גם סכום ישר של מטריצות או העתקות לינאריות, של מרחבים טופולוגיים, של קבוצות סדורות, של גרפים, וכן הלאה.

כאשר מחברים מספר סופי של מבנים, הסכום הישר שווה למכפלה הישרה. לעומת זאת, כאשר מטפלים במספר מבנים אינסופי, הסכום הישר מוכל במכפלה הישרה, והוא כולל רק את הווקטורים שכמעט כל אבריהם אפס.

תוכן עניינים

1 הגדרה קטגורית
2 סכום ישר של מרחבים וקטורים
- 2.1 תאוריה
- 2.2 דוגמה מפורשת
3 סכום ישר של מבנים אלגבריים
4 ראו גם

[עריכה] הגדרה קטגורית

בתורת הקטגוריות, המכפלה הישרה של אובייקטים $\ A_i$ בקטגוריה, היא אובייקט $\ B=\prod A_i$ , עם מורפיזמים ("היטלים") $\ \pi_i {:} B\rightarrow A_i$ , המקיימים את התכונה הבאה: לכל אובייקט $\ C$ בקטגוריה עם מורפיזמים $\ f_i{:}C\rightarrow A_i$ , קיים מורפיזם יחיד $\ f{:}C \rightarrow B$ כך ש- $\ f_i = \pi_i f$ .

הסכום הישר מוגדר באופן דואלי: הסכום הישר של האובייקטים $\ A_i$ , הוא אובייקט $\ B=\coprod A_i$ , עם מורפיזמים $\ \iota_i {:} A_i \rightarrow B$ , המקיימים את התכונה הבאה: לכל אובייקט $\ C$ בקטגוריה עם מורפיזמים $\ f_i{:}A_i\rightarrow C$ , קיים מורפיזם יחיד $\ f{:}B \rightarrow C$ כך ש- $\ f_i = f \iota_i$ . אם הסכום הישר קיים בקטגוריה, אז הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.

[עריכה] סכום ישר של מרחבים וקטורים

[עריכה] תאוריה

אם $\ V$ הוא מרחב וקטורי, $\ U$ ו- $\ W$ תתי מרחבים של $\ V$ , ואפשר להציג כל וקטור של $\ V$ כסכום של וקטור מ- $\ U$ ועוד וקטור מ- $\ W$ , אז אומרים ש- $\ V$ הוא סכום של $\ U$ ושל $\ W$ , וכותבים $\ V=U+W$ . אם הצגה כזו היא תמיד יחידה, אז הסכום הוא סכום ישר, אותו מסמנים ב- $\ V=U\oplus W$ (תנאי שקול לזה: $\ V=U+W$ כאשר אין ל- U ול- W וקטורים משותפים מלבד 0). זוהי ההגדרה של סכום ישר כפעולה פנימית, בין שני תת-מרחבים של אותו מרחב נתון V.

אפשר להגדיר סכום ישר גם באופן חיצוני, כאובייקט חדש. נניח ש- $\ V$ ו- $\ W$ הם מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה $\ F$ . הסכום הישר שלהם הוא מרחב וקטורי שאותו מסמנים ב- $\ V\oplus W$ ; כקבוצה, המרחב החדש שווה למכפלה הקרטזית $\ V\times W$ , כלומר הוא מורכב מכל הזוגות הסדורים $\ (v,w)$ (כאשר $\ v\in V, w\in W$ ). החיבור והכפל בסקלר מוגדרים לפי רכיבים: $\ (v_1,w_1)+(v_2,w_2)=(v_1+v_2,w_1+w_2)$ , ו- $\ \alpha(v,w)=(\alpha v,\alpha w)$ . התוצאה היא מרחב וקטורי שממדו הוא סכום הממדים של $\ V$ ושל $\ W$ (זה המקור לסימון של הסכום הישר בעזרת $\ \oplus$ ).

אפשר לזהות (עד כדי איזומורפיזם) את $\ V$ עם תת-המרחב $\ V\cong V\oplus 0=\{(v,0)\}$ ואת $\ W$ עם תת-המרחב $\ W\cong 0\oplus W=\{(0,w)\}$ ; כך הסכום הישר (שהוא בניה 'חיצונית', חדשה) ניתן לתאור בתור סכום ישר פנימי של תת-מרחבים וקטוריים: $\ V\oplus W = (V\oplus 0)\oplus(0\oplus W)$ .

[עריכה] דוגמה מפורשת

נסביר ונדגים במפורש למה אנחנו מתכוונים בסכום על ישר על מקרה יחסית פשוט.

נסתכל על המרחב הווקטורי $\mathbb{R}^2$ ונבצע סכום ישר שלו עם המרחב $\mathbb{R}$ . כל אחד מהם הוא מרחב הילברט. נגדיר

$\ \mathbb{R}^2 \oplus \mathbb{R} = \left\{ ( \vec{r} , z ) \ | \ \vec{r} \in \mathbb{R}^2 \ , \ z \in \mathbb{R} \right\}$

את פעולת החיבור נגדיר פשוט כחיבור פנימי לפי כל רכיב:

$\ ( \vec{r_1} , z_1 ) + ( \vec{r_2} , z_2 ) = ( \vec{r_1} + \vec{r_2} , z_1 + z_2 )$

הגדרת הכפל בסקלר ברורה. נגדיר מכפלה פנימית על ידי

$\ \lang (\vec{r_1},z_1) , (\vec{r_2},z_2) \rang = \vec{r_1} \cdot \vec{r_2} + z_1 z_2$

בצורה זו $\mathbb{R}^2 \oplus 0$ אורתוגונלי ל $\ 0 \oplus \mathbb{R}$ ולכן מתקיים משפט פיתגורס:

$\ \| (\vec{r},z) \|^2 = \lang (\vec{r},z) , (\vec{r},z) \rang = \vec{r} \cdot \vec{r} + z^2 = \| \vec{r} \|^2 + z^2$

ניתן למעשה להוכיח שמרחב זה איזומטרי ל $\mathbb{R}^3$ שכן $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \oplus \mathbb{R}$ ו $\ ( \vec{r} , z) = ( (x,y) , z) \cong (x,y,z)$

אז, משפט פיתגורס שרשמנו לעיל מקבל את הצורה המוכרת שלו בתלת-ממד

$\ \| (x,y,z) \|^2 = \| (\vec{r},z) \|^2 = \| \vec{r} \|^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2$

[עריכה] סכום ישר של מבנים אלגבריים

באופן דומה, ניתן להכליל את ההגדרה של "סכום ישר" לסכום ישר של מבנים אלגבריים שונים.

[עריכה] סכום ישר של שני מודולים שמאליים

עבור שני מודולים שמאליים, $\ M,N$ מעל חוג $\ R$ , נגדיר את המודול $M \oplus N$ השמאלי מעל $\ R$ כמכפלה קרטזית $\ M\times N$ כאשר עבור $m\in M, n\in N$ נסמן את $\ (m,n)$ בתור $\ m\oplus n$ . עבור $. m_1,m_2\in M, n_1,n_2 \in N$ נגדיר את החיבור על ידי

$\ m_1\oplus n_1 + m_2\oplus n_2 \equiv (m_1 + m_2)\oplus (n_1 + n_2)$

ועבור $\ m\in M, n\in N, r\in R$ נגדיר את הכפל בסקאלר על ידי

$\ r(m\oplus n) \equiv (r m)\oplus (r n)$

מתוך ההגדרה מובן שהפעולה הזו היא אסוציאטיבית וחילופית (עד כדי איזומורפיזם). באופן דומה אפשר לסכום מספר מודולים שמאליים, $\ M_1\oplus M_2 \oplus M_2 \oplus ... \oplus M_n \ \equiv (...((M_1\oplus M_2) \oplus M_2) \oplus ... \oplus M_n)$ . סכום כזה יסומן על ידי $\ \bigoplus_i M_i$ .

[עריכה] סכום ישר של שני מודולים ימניים

ההגדרה עבור מודולים ימניים $\ M,N$ מעל $\ R$ היא זהה, רק שאת הכפל בסקאלר עבור $\ m\in M, n\in N, r\in R$ נגדיר על ידי

$\ (m\oplus n)r \equiv ( m r)\oplus ( n r)$

[עריכה] סכום ישר של חוג עם עצמו

כזכור, חוג הוא מודול מעל עצמו. לכן אפשר לעשות סכום ישר של החוג $\ R$ עם עצמו $\ R\oplus R$ ואפשר לעשות זאת עוד $\ n$ פעמים $\ R^n \equiv \bigoplus_{i=1}^n R$ . אם ניקח מודול חופשי $\ M$ מדרגה $\ n$ , כזה שאפשר לכתוב בו כל איבר $\ m\in M$ בצורה יחידה כ $\ m=r_1e_1 + r_2 e_2 +... +r_n e_n$ אז נוכל להגדיר את הפונקציה $\ f: M \mapsto R^n$ על ידי $\ f(r_1e_1 + r_2 e_2 +... +r_ne_n) = (r_1,r_2,...,r_n)$ . קל להיווכח שבמידה והמודול מעל חוג חלופי הפנקציה $\ f$ היא איזומורפיזם, ולכן $\ M \cong R^n$ .

[עריכה] סכום ישר של מרחבי מכפלה פנימית

הסכום הישר של מרחבי מכפלה פנימית $\ U,V$ הוא המרחב הווקטורי $\ U\oplus V$ שהוגדר לעיל, עם המכפלה הפנימית $\langle u_1\oplus v_1,u_2 \oplus v_2 \rangle \equiv \langle u_1,u_2 \rangle + \langle v_1,v_2\rangle$ . באופן זה תת-המרחבים $\ U\oplus 0$ ו- $\ 0\oplus V$ מאונכים זה לזה, וכך מתקיים משפט פיתגורס: ריבוע הנורמה של $\ u+v$ שווה לסכום ריבועי הנורמות של $\ u$ ושל $\ v$ (כאשר $\ u\in U, v\in V$ ). תכונה זו מכלילה את הסכום הישר של תבניות ריבועיות.

במקרה המיוחד של $\ \mathbb{R}^n$ או $\ \mathbb{C}^n$ , המכפלה הפנימית הסטנדרטית מתקבלת מחיבור חוזר של המכפלות הפנימיות הטבעיות על $\ \mathbb{R}$ או $\ \mathbb{C}$ ( $\ \langle a,b\rangle = ab$ במקרה הראשון, $\ \langle a,b\rangle = a\bar{b}$ בשני).

ההגדרה מכבדת גם את המבנה הטופולוגי של המרחבים הווקטוריים (המושרה על-ידי הנורמה): סדרה $\ \{u_n+v_n\}$ מתכנסת לגבול $\ u+v$ אם ורק אם שתי סדרות הרכיבים מתכנסות ל- $\ u$ ו- $\ v$ , בהתאמה. בפרט, סכום ישר של שני מרחבי הילבט הוא מרחב הילברט.

[עריכה] סכום ישר של מטריצות ריבועיות

אם A ו- B הן שתי מטריצות ריבועיות בגודל n ו- m בהתאמה, אז הסכום הישר $\ A\oplus B$ הוא המטריצה $\ \left(\begin{matrix}A & 0\\ 0 & B\end{matrix}\right)$ , בגודל n+m. אם V ו- W הם מרחבים וקטוריים ו- A,B המטריצות המייצגות של העתקות $\ T{:}V\rightarrow V$ ו- $\ S{:}W\rightarrow W$ בהתאמה (ביחס לבסיסים $\ B_V$ ו- $\ B_W$ ), אז $\ A\oplus B$ היא המטריצה המייצגת של ההעתקה $\ (T,S){:} V\oplus W\rightarrow V\oplus W$ המוגדרת לפי $\ (T,S)(v,w)=(T(v),S(w))$ (ביחס לבסיס $\ B_V \cup B_W$ ).

הסכום הישר מקיים $\ (A\oplus B)+(A'\oplus B') = (A+A') \oplus (B+B')$ ו- $\ (A\oplus B)(A'\oplus B') = AA' \oplus BB'$ .

[עריכה] סכום ישר של שתי אלגברות

אפשר לראות כל אלגברה (בין אם היא אסוציאטיבית ובין אם לאו) כמודול מעל חוג עם מכפלה בילינארית. לכן, עבור שתי אלגברות $\ A,B$ מעל אותו חוג $. R$ נגדיר את $A\oplus B$ באותו אופן שהגדרנו את הסכום עבור שני מודולים, ואת המכפלה ( $\ a_1,a_2\in A, b_1,b_2\in B$ ) על ידי: