0 (מספר)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

מספרים שלמים
כתיב עשרוני	0
במילים	אפס
מספר סודר	---
גימטריה	---
פירוק לגורמים	---
כתיב רומי	---
כתיב בינארי	0
כתיב הקסדצימלי	00

אפס הוא המספר השלם שבא לפני 1 ואחרי 1-. כאשר יש אפס ממשהו מסוים, פירוש הדבר שאותו הדבר אינו קיים. כאשר מוסיפים אפס למשהו, הוא נותר ללא שינוי.

אפס היה בשימוש לראשונה על ידי מתמטיקאים הודים. כמו כן, גם תרבויות אמריקאיות קדומות, כמו המאיה השתמשו באפס, אך לרוב שימושים אלו לא ראו באפס מספר העומד בפני עצמו והשתמשו בו רק בתור "ממלא מקום" המשמש לתיאור מספרים אחרים בשיטת הספירה שבה השתמשו. מההודים הגיע האפס לכתביו של המתמטיקאי והפילוסוף הפרסי בן המאה התשיעית, אל ח'ואריזמי, ורק במאה ה-11 הגיע דרך אנדלוסיה לאירופה.

במתמטיקה יש שתי גישות להגדרת האפס. האחת, המתבססת על תורת הקבוצות רואה באפס את גודלה של הקבוצה הריקה. השנייה, המבוססת על אקסיומות השדה, רואה באפס את האיבר הנייטרלי ביחס לחיבור. כלומר את האיבר שכאשר מוסיפים אותו לאיבר אחר, אותו איבר נותר ללא שינוי. האיברים השליליים מוגדרים באמצעות האפס - האיבר הנגדי של מספר x הוא מספר שמסומן x-, וסכום שניהם הוא אפס.

משתי אקסיומות אלה נובעות שתי תכונות חשובות של 0. הראשונה:

לכל מספר $\!\, x$ מתקיים: $x\cdot 0=0\cdot x=0$ .

קל להוכיח תכונה זו. מכיוון ש- $\!\, 0$ הוא איבר נייטרלי ביחס לחיבור, הרי ש- $\!\, 0+0=0$ כעת, על פי כלל הפילוג נקבל:

$0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x +0\cdot x$

אבל הרי אם מתקיים $\!\, A=A+A$ אפשר להוסיף את האיבר הנגדי ולקבל: $\!\, A+(-A)=A+A+(-A)$ ומכאן: $\!\, 0=A+0=A$

על כן בפרט עבור $0\cdot x$ נקבל $0\cdot x=0$ .

מתכונה זו נובעת התכונה השנייה:

הביטוי $\!\, x/0$ הוא ביטוי חסר משמעות. הוא אינו מסמל מספר. על כן, באופן עקרוני לא ניתן לחלק באפס.

הסיבה לכך שלא ניתן לבצע חלוקה שכזו היא שפעולת החילוק מוגדרת באמצעות היפוך של פעולת הכפל: אילו היינו מחליטים ש- $\ \frac{a}{0}=b$ כאשר $\ b$ הוא מספר כלשהו, אז לפי ההגדרה של פעולת החילוק היה צריך להתקיים $\ a = 0\cdot b$ , והרי $\ 0\cdot b = 0$ , כלומר בהכרח $\ a=0$ .

אף על פי שלחלוקה באפס אין משמעות טבעית, ניתן להגדיר באופן שרירותי תוצאה לחלוקה באפס. הדבר גורם לרוב לאובדן חלק מתכונות המבנה האלגברי שבו עוסקים. למרות זאת, הגדרה שכזו היא נוחה לעתים לשימוש בתור סימון.

למשל, לפי החשבון האינפיניטסימלי, כאשר מחלקים מספר חיובי קבוע השונה מאפס בזה אחר זה בסדרת מספרים חיוביים השואפת לאפס, תוצאת התהליך שואפת לאינסוף. בשל כך ניתן לומר כי מספר קבוע השונה מאפס חלקי אפס הוא אינסוף (כאשר לאינסוף בוחרים להתייחס כאל מספר, אך בדרך כלל אין בוחרים כך). עם זאת, גם בגישה זו יש בעייתיות: אם ניקח סדרה של מספרים שליליים השואפת לאפס ונחלק בה, נקבל מינוס אינסוף, ואם הסדרה מחליפה סימן, לא ניתן יהיה לייחס תוצאה לתהליך.

"חלוקה של אפס באפס", כלומר חלוקה של שתי סדרות או פונקציות השואפות לאפס זו בזו, יכולה להניב תוצאות שונות. ניתן לחשב גבולות מסוג זה למשל על ידי כלל לופיטל. הדוגמה הקלאסית לחלוקה גבולית של אפס באפס שמניבה מספר קבוע היא הזהות $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ .

אפס מפריד בין שני סוגי מספרים: כל מספר גדול ממנו הוא מספר חיובי, וכל מספר קטן ממנו הוא מספר שלילי. אפס עצמו הוא המספר היחיד שאינו משתייך לאחת משתי קטגוריות אלה.

השאלה האם האפס נכלל בקבוצת המספרים הטבעיים, תלויה בהגדרה (אפשר להחליט שכן, אפשר להחליט שלא, ולכל החלטה יש היתרונות והחסרונות שלה).

מוסכמה שנועדה לשמור על אחידות כללי החזקות היא שלכל $\!\, x$ השונה מאפס, $\!\, x^0=1$ . מוסכמה נוספת היא כי $\!\, 0!=1$ , כלומר פונקציית העצרת של אפס היא אחד.

אין מוסכמה כללית לגבי הביטוי $\!\, 0^0$ . יש המגדירים אותו כשווה 1 (דבר זה עקבי עם נוסחת הבינום של ניוטון), ויש שרואים בו ביטוי בלתי מוגדר. היחס אליו נקבע על פי רוב על פי ההקשר.

[עריכה] היסטוריה

מקורו של האפס בהודו של המאה ה-6, עם המצאת השיטה העשרונית. במקורו נקרא האפס "סוּניה" - מילה הינדית שפירושה "ריק". תפקידה של ספרה זו היה לייצג רווח. צורך זה נוצר רק בתקופה זו, שבה החלו להשתמש במערכת ספירה המבוססת על מיקום הספרות. כ-200 שנים אחר כך, סימנו הערבים את ספרה זו באמצעות עיגול ריק וקראו לו "סיפְר" (שוב, מילה שפירושה "ריק"). עם הזמן הפך ה"סיפר" הערבי ל-"zero" המערבי, וכך הוא נקרא עד היום. המילה העברית 'אפס' מופיעה כבר בתנ"ך, אם כי לא במשמעותה המקובלת כיום.

למעשה, ייצג בתחילה ה-0 את העמודה הריקה בחשבוניה.

מספרים
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49
50	60	70	80	90	100	200	300	400	500
				1,000	2,000
אחרים
שמות מספרים \| ...0.999 \| 666 \| 1089 \| 1729 \| 142857 \| גוגול (10¹⁰⁰)

מקור: http://he.wikipedia.org../../../0/_/%28/0_%28%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8%29.html

קטגוריה: מספרים

0 (מספר)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

[עריכה] היסטוריה

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות