משתמש:The Fool/ארגז חול/סימונים מתמטיים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

סימונים מתמטיים

תוכן עניינים

1 דוגמה
2 סימונים מתמטיים

[עריכה] דוגמה

סימון	שם	משמעות	סוג	סימונים מקבילים
$+$	פלוס, ועוד	חיבור	אופראטור
$+$	תיאור

סימון	שם	משמעות	סוג	סימונים מקבילים
+	פלוס, ועוד	חיבור	אופרטור
+	(תיאור)

[עריכה] סימונים מתמטיים

לכתיבה בסימנים מתמטיים יש כמה יתרונות מרכזיים:

אי-תלות בשפה בה נכתב הטקסט המתמטי. במאמר באנגלית ובמאמר בוולשית ישתמשו באותם סימונים ממש. מי שמתכוון ללמוד או לכתוב מתמטיקה בשפה זרה, לא יצטרך ללמוד את הסימונים מחדש.
בהירות ופשטות. נניח ולא היה קיים הסימון $\in$ (איבר בקבוצה). בשימוש במילים רגילות בלבד היינו יכולים להגיע לידי אי-בהירות, לדוגמה: אם נגיד "הכדור הזה שייך לקבוצת הילדים הזו", האם הכוונה היא שגם הכדור הוא ילד (איבר באותה קבוצה של ילדים)?
קיצור. כתיבה מפורשת של כל הסימונים תהיה ארוכה פי כמה, מה שיגרום לטרחה מיותרת הן בכתיבה והן בקריאה.

[עריכה] תורת הקבוצות

[עריכה] קבוצות חשובות

סימון	שם	משמעות	סוג	סימונים מקבילים
$\subseteq$	תת קבוצה	הכלה	יחס	$\supseteq$
$\subseteq$	בהנתן שתי קבוצות, $A$ ו- $B$ , משמעות הביטוי $A\subseteq B$ (קרי: " $A$ תת קבוצה של $B$ " או " $A$ חלקית ל- $B$ ") היא שכל איבר ב- $A$ הוא גם איבר ב- $B$ . בסימון מתמטי: $\forall a\in A \quad a\in B$ מתקיים אםם $A\subseteq B$ מתקיים. הסימון $\supseteq$ שקול ל- $\subseteq$ , אלא שהסדר מתהפך: $A\subseteq B$ שקול ל- $B\supseteq A$ .
$\subset$	תת קבוצה ממש	הכלה ממש	יחס	$\supset, \subsetneq, \supsetneq$
$\subset$	בהנתן שתי קבוצות, $A$ ו- $B$ , משמעות הביטוי $A\subset B$ (קרי: " $A$ תת קבוצה ממש של $B$ " או " $A$ חלקית ממש ל- $B$ ") היא שכל איבר ב- $A$ הוא גם איבר ב- $B$ , אבל קיים איבר ב- $B$ שאינו איבר ב- $A$ . בסימון מתמטי: $\forall a\in A \quad a\in B \wedge \exists b\in B\quad b\notin A$ מתקיים אםם $A\subset B$ מתקיים. הסימון $\supset$ שקול ל- $\subset$ , אלא שהסדר מתהפך: $A\subset B$ שקול ל- $B\supset A$ . הסימונים $\subsetneq$ ו- $\supsetneq$ שקולים ל- $\subset$ ול- $\supset$ בהתאמה, ויכולים לבוא להדגשת אי-השוויון.

סימון	שם	משמעות	סוג	סימונים מקבילים
$\mathbb{Q}$	הראציונאליים	קבוצת המספרים הראציונאליים	קבוצה אינסופית בת־מניה
$\mathbb{Q}$	כל מספר שניתן להצגה כמנה של טבעי ושלם הוא מספר ראציונאלי. הקבוצה $\mathbb{Q}$ כוללת את כל המספרים הראציונאלים, ורק אותם. בפורמאליזאציה מתמטית: $\mathbb{Q} = \left\{ r \| r = \frac{n}{m} = n\cdot m^{-1}, n\in \mathbb{N}, m\in \mathbb{Z} \right\}$ . לכל מספר בקבוצה זו יש יותר מדרך־הצגה אחת, לדוגמה: $\frac{8}{13} = \frac{16}{26}$ . לכל מספר ראציונאלי, מלבד האפס, יש הצגה יחידה $\frac{n}{m}$ כאשר ל־ $n$ ול־ $m$ אין גורמים משותפים (בדוגמה שלעיל: $gcd(8,13) = 1$ , ולכן $\frac{8}{13}$ היא ההצגה המינימאלית של המספר, בעוד שעבור $\frac{16}{26}$ מתקבל $\gcd (16,26)=2\neq 1$ , ולכן זו לא ההצגה המינימאלית). כל מספר ממשי ניתן לקרב בדיוק טוב כרצוננו על־ידי סדרת מספרים ראציונאליים.

[עריכה] קבועים מתמטיים

סימון	שם	משמעות	סוג
$π$	פאי (πι)	היחס בין היקף מעגל לקוטרו	קבוע, מספר אי רציונלי
$π$	ערך מקורב: $3.141593...$ .
$\varphi$	פי (φι)	יחס הזהב	קבוע, מספר אי רציונלי
$\varphi$	ערך מקורב: $1.618034...$ .

[עריכה] קומבינטוריקה

סימון	שם	משמעות	סוג
$n!$	$n$ עצרת	עצרת	סימון מקוצר
$n!$	סימון מקוצר לביטוי $\prod_{i=1}^{n}i$ , כלומר: $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n$ . לדוגמה: $5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$ .
$n\choose k$	$n$ מעל $k$	מקדם בינומי	סימון מקוצר
$n\choose k$	סימון מקוצר למקדם הבינומי. זהו מספר תתי־הקבוצות בגודל $k$ של קבוצה בגודל $n$ . חישוב: ${n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
$n\choose{n_1 ,n_2 ,\dots ,n_k}$		מקדם מולטינומי	סימון מקוצר
$n\choose{n_1 ,n_2 ,\dots ,n_k}$	סימון מקוצר למקדם המולטינומי. זהו מספר [תת קבוצה\|תתי־הקבוצות]] בגדלים $n_1 ,\dots ,n_k$ של קבוצה בגודל $n$ , כאשר $n_1 ,\dots ,n_k$ מספרים שסכומם n. חישוב: ${n \choose {n_1 ,n_2 ,\dots ,n_k}}=\frac{n!}{n_1 \cdot n_2 \cdots n_k}$ דוגמאות: מספר הדרכים לחלק 50 סטונדטים לשלוש הרצאות שונות, כך שבראשונה יהיו 20 אנשים, בשניה 17 ובשלישית 13 הוא ${50 \choose 20,17,13} = \frac{50!}{20! \cdot 17! \cdot 13!}$ . הביטוי $5 \choose 3,4$ אינו מוגדר, שכן $3+4\neq 5$ . קל לראות שמתקיים: ${n \choose k} = {n \choose k,n-k}$ , שכן על־פי ההגדרה ${n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ .

[עריכה] תורת הגרפים

סימון	שם	משמעות	סוג	סימונים מקבילים
$G = (V, E)$	גרף G	גרף	מושג
$G = (V, E)$	גרף הוא אובייקט מתמטי המורכב משתי קבוצות: קבוצת הצמתים ( $V$ , vertices) וקבוצת הקשתות ( $E$ , edges).