עצרת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

ערך זה עוסק בפונקציה מתמטית. לערך העוסק בחג השבועות, ראו שבועות.

במתמטיקה, עצרת (באנגלית factorial), היא פונקציה הפועלת על המספרים הטבעיים, ומתאימה לכל מספר טבעי $\ n$ את המכפלה של כל המספרים הטבעיים מ- $\ 1$ ועד $\ n$ זה בזה. העצרת מסומנת בסימן $\ !$ , כפי שהוצע על-ידי המתמטיקאי כריסטיאן קראמפ בשנת 1808.

דוגמאות לחישובי עצרת:

$\ 5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$

$\ 10! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 = 3,628,800$

קל לראות משתי דוגמאות אלה שערכיה של הפונקציה נוסקים במהירות רבה ביחס לפונקציות נפוצות אחרות (דוגמת פולינומים ואף פונקציות מעריכיות).

עבור $\ n$ גדול, ניתן להשיג קירוב טוב לערך של $\ n!$ באמצעות נוסחת סטירלינג, שקובעת:

$n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

הערך של $\ 0!$ מוגדר כשווה 1, משום ש- $\ 0!$ היא מכפלה ריקה (כמו $\ x^0$ ), שערכה הוא תמיד 1.
ניתן להסביר זאת גם באינדוקציה, לפי הכלל ש- $\ (n-1)! = n!/n$ , ועל כן $\ 0! = 1!/1 = 1$ .

לעצרת שימושים רבים בקומבינטוריקה. למשל, מספר התמורות של $\ n$ איברים (כלומר, מספר הדרכים השונות לסידורם של n איברים שונים בשורה) שווה ל- $\ n!$ . באלגברה לעצרת שימוש בחישוב מקדמי הבינום של ניוטון. העצרת משמשמת גם בחשבון אינפיניטסימלי, למשל במשפט טיילור, משום שהנגזרת ה- $\ n$ של $\ x^n$ שווה ל- $\ n!$ .