Azione (fisica)

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In fisica il principio d'azione è una asserzione sulla natura del moto per cui la traiettoria di un oggetto può essere determinata: il cammino seguito da un oggetto è quello che rende stazionario il valore di una quantità chiamata azione. Perciò invece di pensare in termini di oggetti che accelerano in risposta all'applicazione di una forza si può pensare ad oggetti che scelgono un cammino di azione stazionaria.

Questo principio è chiamato principio di azione stazionaria ovvero principio di Hamilton oppure, comunemente, principio di minima azione. L'azione è uno scalare, un numero che ha le dimensioni di una energia per un tempo, e questo principio costituisce uno strumento semplice, generale e potente per predire il moto in meccanica classica: è così utile che è stato esteso per coprire anche l'elettromagnetismo, la meccanica relativistica e la meccanica quantistica.

Sebbene nei fatti sia del tutto equivalente alle leggi di Newton, il principio d'azione è più adatto ad essere generalizzato, e gioca per questo un ruolo molto maggiore nella fisica moderna: è anzi una delle grandi generalizzazioni della scienza fisica, e la sua importanza si vede appieno in meccanica quantistica. La formulazione di Feynman della meccanica quantistica è basata sul principio di azione stazionaria formulato usando gli integrali di cammino; le equazioni di Maxwell possono essere ricavate come condizioni di azione stazionaria.

Molti problemi in fisica possono essere rappresentati e risolti in termini di principio d'azione: trovare il cammino più veloce (non il più breve) fra due punti; l'acqua che scende da una collina segue sempre la massima pendenza; il cammino della luce fra due punti è sempre quello che viene percorso nel tempo più breve (principio di Fermat del minimo tempo); il cammino di un corpo in un campo gravitazionale (problema della caduta libera nello spazio-tempo, la cui soluzione è una traiettoria geodetica): sono tutti esempi di problemi che possono essere risolti con il principio d'azione.

Le simmetrie nei problemi di fisica possono essere sfruttate al meglio usando il principio d'azione e le equazioni di Eulero-Lagrange, che da questo sono derivate: per esempio, il Teorema di Noether stabilisce che per ogni simmetria continua in un problema di fisica corrisponde una legge di conservazione: questa profonda connessione matematica richiede tuttavia il principio d'azione come presupposto.

Nella fisica classica, non considerando né la relatività, né la teoria dei quanti, il principio può essere dimostrato a partire dalle leggi del moto di Newton. Oppure, partendo dal principio d'azione, si possono dimostrare le leggi di Newton. Dunque, nella meccanica classica, il principio di minima azione e le leggi di Newton sono equivalenti. Spesso l'uso dell'azione semplifica i problemi trattati direttamente con le leggi di Newton, in quanto, essendo una teoria scalare, le sue derivazioni e le applicazioni richiedono solo forme elementari dell'analisi.

Indice

1 Storia
2 Il principio di azione nella meccanica classica
3 Le equazioni di Eulero-Lagrange per l'integrale azione
- 3.1 Esempio: Particelle libere in coordinate polari
4 Voci correlate
5 Bibliografia
6 Collegamenti esterni

[modifica] Storia

Il principio di minima azione fu formulato per la prima volta da Maupertuis [1] nel 1746 e sviluppato dal 1748 in poi dai matematici Eulero, Lagrange, e Hamilton.

Maupertuis fu condotto a formulare questo principio dall'osservazione che la natura dell'universo richiede un certo grado di economia e si oppone ad ogni non necessaria dissipazione di energia. I moti naturali devono avvenire in modo da rendere minima una certa grandezza. Si trattava solo di trovare questa grandezza, e a questo egli si accinse. Egli la individuò nel prodotto della durata (tempo) di un moto all'interno di un sistema per la cosiddetta forza viva ovvero il doppio di quello che noi oggi definiamo energia cinetica del sistema.

Eulero (nelle sue "Riflessioni su alcune leggi generali della natura ...", 1748 adotta il principio della minima azione, dando a questa quantità l'appellativo di sforzo. La sua formulazione corrisponde a ciò che noi ora definiamo energia potenziale, così che la definizione di minima azione in un sistema statico è equivalente al principio secondo cui un sistema di corpi in quiete assume lo stato che rende minima l'energia potenziale totale.

[modifica] Il principio di azione nella meccanica classica

La legge del moto di Newton può essere indicata in molti modi alternativi. Uno di questi è il formalismo Lagrangiano, altrimenti chiamato meccanica Lagrangiana. Se denotiamo la traiettoria di una particella in funzione del tempo $t$ come $x (t)$ e con una velocità $\dot{x}(t)$ , allora la Lagrangiana è una funzione dipendente da queste grandezze e probabilmente anche esplicitamente dal tempo:

$L(x(t),\dot{x}(t),t)$

L'integrale azione $S$ è l'integrale sul tempo della Lagrangiana tra un punto di partenza dato $x (t 1)$ al tempo $t 1$ ed un punto finale dato $x (t 2)$ al tempo $t 2$

$S=\int_{t_1}^{t_2} L(x(t),\dot{x}(t),t) dt$

Nella meccanica Lagrangiana, la traiettoria di un oggetto è derivata trovando il percorso per cui l'integrale azione $S$ è stazionario (un minimo od un punto di sella). L'azione integrale è un funzionale (una funzione dipendente da una funzione, in questo caso $x (t)$ ). Per un sistema di forze conservative (forze che possono essere espresse in termini di un potenziale, come la forza gravitazionale e non come le forze d'attrito), la scelta di una Lagrangiana come l'energia cinetica meno l'energia potenziale risulta correttamente dalle leggi della meccanica Newtoniana (Notare che la somma dell'energia cinetica e potenziale è l'energia totale del sistema).

[modifica] Le equazioni di Eulero-Lagrange per l'integrale azione

Il punto stazionario di un integrale lungo un percorso è equivalente ad un sistema di equazioni differenziali, chiamate equazioni di Eulero-Lagrange. Possiamo vederlo come segue, restringendo il problema ad una sola coordinata. L'estensione a più coordinate segue direttamente.

Supponiamo di avere un integrale azione $S$ di un integrando $L$ che dipende dalle coordinate $x (t)$ e sia $\dot{x}(t)$ la sua derivata rispetto al tempo:

$S = \int_{t_1}^{t_2}\; L(x,\dot{x})dt$

Consideriamo una seconda curva $x 1 (t)$ che comincia e finisce negli stessi punti della prima curva e assumiamo che la distanza tra le due curve sia piccola ovunque:

$ε(t) = x 1 (t) - x (t)$ è piccolo. Ai punti iniziale e finale abbiamo $ε(t 1) = ε(t 2) = 0$ .

La differenza tra l'integrale lungo le curve uno e due è:

$\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\; (L(x+\epsilon,\dot x+\dot\epsilon) - L(x,\dot x))dt = \int_{t_1}^{t_2}\; \left( \epsilon{\partial L\over\partial x} + \dot\epsilon{\partial L\over\partial \dot x} \right)dt$

dove abbiamo usato l'espansione al primo ordine di $L$ in $ε$ e $\dot\epsilon$ . Adesso usiamo l'integrazione parziale sull'ultimo termine e usiamo la condizione $ε(t 1) = ε(t 2) = 0$ per trovare:

$\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\; \left( \epsilon{\partial L\over \partial x} - \epsilon{d\over dt }{\partial L\over\partial \dot x} \right)dt$

$S$ raggiunge un punto stazionario (un estremo), per esempio $δ S = 0$ per ogni $ε$ . Da notare che questo è l'unico requisito: l'estremo può anche essere un minimo, un punto di sella o formalmente anche un massimo. $δ S = 0$ per ogni $ε$ se e solo se

${\partial L\over\partial x^a} - {d\over dt }{\partial L\over\partial \dot{x}^a} = 0 \;\;\;\;\; \mbox{Equazione di Eulero-Lagrange}$

Dove abbiamo sostituito $x^a,\; a=0,1,2,3$ con $x$ , dato che questo vale per tutte le coordinate. Questo set di equazioni è chiamato Equazione di Eulero-Lagrange per i problemi variazionali. Una semplice importante conseguenza di queste equazioni è che se $L$ non contiene esplicitamente la coordinata $x$ , per esempio:

se ${\partial L/\partial x}=0$ allora ${\partial L/\partial\dot x}$ è costante

Una simile coordinata $x$ è chiamata coordinata ciclica e ${\partial L}/{\partial\dot x}$ è chiamato il momento coniugato che si conserva. Per esempio se $L$ non dipende dal tempo, la costante associata al moto (il momento coniugato) è l'energia. Se usiamo le coordinate sferiche $t, r,φ,θ$ e $L$ non dipende da $φ$ , il momento coniugato è il momento angolare che si conserva.

[modifica] Esempio: Particelle libere in coordinate polari

Semplici esempi aiutano ad apprezzare l'uso del principio di azione tramite le equazioni di Eulero-Lagrange. Una particella libera (di massa $m$ e velocità $v$ ) in uno spazio Euclideo si muove in linea retta. Utilizzando le Equazioni di Eulero-Lagrange questo può essere mostrato in coordinate polari come segue. In assenza di potenziale, la Lagrangiana è uguale semplicemente all'energia cinetica $\frac{1}{2} mv^2= \frac{1}{2}m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)$ in coordinate ortonormali $(x, y)$ , dove il punto sopra le coordinate rappresenta la derivata rispetto al parametro della curva (usualmente il tempo $t$ ). In coordinate polari $(r,φ)$ l'energia cinetica e dunque la Lagrangiana diventa

$L = \frac{1}{2}m \left( \dot{r}^2 + r^2\dot\phi^2 \right)$

Le componenti radiale $r$ ed angolare $φ$ dell'equazione di Eulero-Lagrange diventano rispettivamente,

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \right) - \frac{\partial L}{\partial r} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \ddot{r} - r\dot{\phi}^2 = 0$

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} \right) -\frac{\partial L}{\partial \phi} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \ddot{\phi} + \frac{2}{r}\dot{r}\dot{\phi} = 0$

La soluzione di queste due equazioni è data da

r cosφ = a t + b

r sinφ = c t + d

per un'insieme di costanti $a, b, c, d$ determinate dalle condizioni iniziali. Perciò, ovviamente, la soluzione è una linea retta data in coordinate polari.

I formalismi qui sopra sono validi in meccanica classica in un senso molto più restrittivo del termine. Più generalmente, un'azione è un funzionale dello spazio delle configurazioni sui numeri reali e in generale, non c'è bisogno che sia un integrale dal momento che azioni non locali sono possibili. Lo spazio delle configurazioni non deve essere necessariamente uno spazio funzionale perché possiamo avere oggetti come le geometrie non-commutative.

[modifica] Voci correlate

Fisica
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[modifica] Bibliografia

Vedere anche: Edwin F. Taylor [2] che elenca, fra l'altro, le seguenti pubblicazioni:

Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics (Dover Publications, New York, 1986). ISBN 0-486-65067-7. Il riferimento più citato tra tutti quelli che trattano questo campo.
L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Mechanics, Course of Theoretical Physics (Butterworth-Heinenann, 1976), 3rd ed., Vol. 1. ISBN 0 7506 2896 0. Inizia con il principio di minima azione.
Thomas A. Moore "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics (Simon & Schuster Macmillan, 1996), Volume 2, ISBN 0-0286457-1, pages 840 – 842.
David Morin introduce le equazioni di Lagrange nel Capitolo 5 del suo stimato testo di introduzione alla fisica. Conclude con una serie di 27 bellissimi problemi con relative soluzioni.
Gerald Jay Sussman and Jack Wisdom, Structure and Interpretation of Classical Mechanics (MIT Press, 2001). Inizia con il principio di minima azione, usa notazioni matematiche moderne, e controlla la chiarezza e consistenza delle procedure traducendole in un programma per un linguaggio per computer.
Dare A. Wells, Lagrangian Dynamics, Schaum's Outline Series (McGraw-Hill, 1967) ISBN 007-069258-0. Una "trattazione" esaustiva di 350 pagine dell'argomento.
Robert Weinstock, Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering (Dover Publications, 1974). ISBN 0-486-63069-2. Un poco datato ma buono, con il formalismo definito con cura prima del suo utilizzo in fisica e in ingegneria.
Wolfgang Yourgrau and Stanley Mandelstam, Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory (Dover Publications, 1979). Una piacevole trattazione che non tralascia le implicazioni filosofiche della teoria e che plaude alla trattazione di Feynman della meccanica quantistica che si riduce al principio di minima azione nel limite di massa grande.

[modifica] Collegamenti esterni

Edwin F. Taylor's page [3]
Note storiche:
1. WILLIAM ROWAN HAMILTON (1805 - 1865) Sito da cui si possono scaricare le "the mathematical papers" di Sir William Rowan Hamilton, trascritte e corrette da David R. Wilkins" nei formati TeX, DVI, PDF, o PostScript [4]

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../a/z/i/Azione_%28fisica%29.html"

Categoria: Meccanica razionale