Gruppo fondamentale

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Il gruppo fondamentale è un concetto fondamentale in topologia. È uno strumento potente che analizza la forma di un oggetto e la traduce in una forma algebrica. L'oggetto da analizzare deve essere uno spazio topologico (ad esempio un sottoinsieme del piano, dello spazio, o di in un qualsiasi spazio euclideo). Il risultato della traduzione è un gruppo, detto appunto il gruppo fondamentale dello spazio.

Indice

1 Definizione intuitiva
2 Definizione formale
- 2.1 Lacci
- 2.2 Omotopia
3 Proprietà
4 Esempi
5 Voci correlate

[modifica] Definizione intuitiva

Prendiamo come esempio il toro: il gruppo fondamentale del toro è un oggetto algebrico che ne cattura la forma, e che qui codifica la presenza di un "buco". Come sempre in topologia, questo oggetto deve dipendere solo dalla forma del toro e non dalla sua particolare posizione e rappresentazione nello spazio. Il gruppo fondamentale è definito usando le curve sul toro (dette lacci) che partono da un punto p e tornano a p. Ad esempio, la curva mostrata a destra.

Questo laccio non sembra però catturare informazioni sulla forma del toro: infatti può essere deformato in modo continuo (tramite una omotopia) fino a diventare arbitrariamente piccolo.

I due lacci a e b mostrati qui a destra, invece, sono molto più rappresentativi: proprio a causa del buco centrale, nessuno dei due può essere deformato ad un laccio piccolo. E inoltre non è possibile ottenere b deformando a. Notiamo ancora che queste sono proprietà intrinseche del toro: tramite queste considerazioni ci siamo accorti dell'esistenza di un buco "dall'interno", senza usare lo spazio tridimensionale che lo contiene.

A questo punto notiamo che i due lacci a e b possono essere composti in modo da ottenere un terzo laccio, che prima fa un giro come a e poi ne fa un altro come b. Diamo a questo nuovo laccio il nome di ab. In questo modo, dando dei nomi ai lacci, considerandoli a meno di deformazioni, e componendoli otteniamo un oggetto basilare dell'algebra: un gruppo. Ad esempio in questo caso otteniamo il gruppo Z x Z dato da tutte le coppie (x, y) di interi, generato dai lacci a e b che si traducono rispettivamente in (1, 0) e (0, 1).

[modifica] Definizione formale

[modifica] Lacci

Sia X uno spazio topologico connesso per archi e p un suo punto. Come accennato sopra, un laccio centrato in p è una funzione continua γ: [0, 1] → X tale che γ(0) = γ(1) = p. In altre parole, è un arco (o cammino) che parte e torna in p.

Consideriamo l'insieme di tutti i lacci centrati in p. I lacci possono essere composti: il laccio γ * λ gira prima lungo γ e quindi lungo λ, ciascuno a velocità doppia in modo da risultare sempre una funzione da [0, 1] in X.

Vorremmo che questa regola di composizione trasformasse l'insieme dei lacci centrati in p in un gruppo. Sfortunatamente, nessuno degli assiomi necessari è soddisfatto! Ad esempio, non è valida neppure la proprietà associativa: infatti i lacci (γ * λ) * μ e γ * (λ * μ) fanno gli stessi "percorsi" ma con velocità differenti: la prima gira lungo γ in un tempo 1/4, mentre la seconda gira lungo γ in un tempo 1/2.

[modifica] Omotopia

La definizione di laccio appare quindi troppo "rigida": per ovviare a questo problema consideriamo i lacci a meno di deformazioni, cioè di omotopie. Una omotopia fra due lacci γ e λ è una funzione continua

F: [0, 1] x [0, 1] → X

che trasforma γ in λ tramite lacci centrati in p. Formalmente, abbiamo

F(t, 0) = γ(t), F(t, 1) = λ(t) per ogni t, e, inoltre, F(0, s) = γ(0), F(1, s) = λ(1) per ogni s.

Diciamo che due lacci sono equivalenti se esiste una omotopia che li collega. In questo modo otteniamo una relazione d'equivalenza, e quindi un quoziente (dato appunto dalle classi di equivalenza) che indichiamo con π₁(X, p). Per ogni laccio γ, la sua classe di equivalenza [γ] è quindi un elemento di π₁(X, p).

La composizione di due lacci γ e λ dipende, a meno di omotopia, soltanto dalle classi [γ] e [λ]. In altre parole, abbiamo [γ * λ] = [γ] * [λ]. Questo implica che l'operazione di composizione "passa al quoziente" ed è quindi definita anche sull'insieme π₁(X, p). Si dimostra quindi che con questa operazione l'insieme π₁(X, p) è un gruppo, detto appunto gruppo fondamentale. Notiamo che senza l'utilizzo dell'omotopia, nessuno degli assiomi di gruppo sarebbe stato soddisfatto!

L' elemento neutro del gruppo π₁(X, p) è il laccio banale, la funzione costante γ(t) = p per ogni t, il laccio che sta fermo in p per tutto il tempo. Dato un laccio γ, l' inverso è semplicemente lo stesso laccio percorso in senso inverso, quindi γ^-1(t) = γ(1-t).

Il gruppo fondamentale di uno spazio topologico generalmente non è abeliano.

[modifica] Proprietà

Supponiamo per semplicità che gli spazi topologici di cui parliamo qui siano sempre connessi per archi.

Il gruppo fondamentale π₁(X, p) non dipende dal punto base p scelto. Se q è un altro punto, poiché X è connesso per archi esiste un arco α che collega p e q, ed usando α si può costruire un isomorfismo tra π₁(X, p) e π₁(X, q). Per questo motivo il punto base spesso viene omesso, e si parla di gruppo fondamentale dello spazio X. Notiamo però che l'isomorfismo dipende dalla scelta dell'arco α e quindi non è canonico: per questo motivo in alcuni momenti la scelta del punto base è essenziale.

Ogni funzione continua f: X → Y fra spazi topologici tale che f(p) = q induce un omomorfismo

f_*: π₁(X, p) → π₁(Y, q)

tra i corrispettivi gruppi fondamentali. Quindi il gruppo fondamentale trasforma oggetti e mappe topologiche in oggetti e mappe algebriche. Usando il linguaggio della teoria delle categorie, diciamo che π₁ è un funtore covariante dalla categoria degli spazi topologici puntati (cioè con punto base) in quella dei gruppi.

Se f: X → Y è un omeomorfismo con f(p) = q, la funzione indotta f_*: π₁(X, p) → π₁(Y, q) è un isomorfismo di gruppi. Quindi spazi topologici omeomorfi hanno gruppi fondamentali isomorfi.

In verità anche due spazi topologici omotopicamente equivalenti hanno gruppi fondamentali isomorfi. Questo vuol dire che il gruppo fondamentale è una quantità che non distingue (non "vede") l'omotopia. In generale, due funzioni f, g: X → Y tali che f(p) = g(p) = q omotope fra gli spazi topologici X e Y (tramite una omotopia relativa a p, cioè in cui ogni deformazione manda p in q) inducono gli stessi omomorfismi f_* = g_*: π₁(X, p) → π₁(Y, q).

[modifica] Esempi

Uno spazio topologico con gruppo fondamentale banale (cioè avente un solo elemento) si dice semplicemente connesso. Gli spazi topologici semplicemente connessi hanno un ruolo fondamentale in geometria.

la palla n-dimensionale (e quindi in particolare l'intervallo) è semplicemente connessa. In generale ogni spazio contraibile, cioè omotopicamente equivalente ad un punto, è semplicemente connesso. Quindi un qualsiasi insieme convesso dello spazio euclideo è semplicemente connesso. Anche la retta e il piano sono semplicemente connessi. La sfera n-dimensionale è semplicemente connessa, benché non sia contraibile.

Lo spazio topologico più semplice non semplicemente connesso è la circonferenza $S 1$ . Il suo gruppo fondamentale è isomorfo al gruppo additivo dei numeri interi Z: il numero intero associato ad un laccio di $S 1$ è il numero di volte che questo "gira" intorno ad essa. Il seguente esempio illustra un'applicazione del gruppo fondamentale: pensiamo di partire per un viaggio da un punto della terra e fare un certo percorso intorno ad essa fino a ritornare al punto di partenza. Supponiamo di viaggiare abbastanza più lentamente del sole e di non andare oltre i circoli polari. In questo viaggio supponiamo di vedere il sole sorgere e tramontare 57 volte, mentre sappiamo dal nostro orologio che sono passati 51 giorni soltanto. Da dove arrivano questi 6 giorni in più? Ebbene, la terra senza le calotte polari ha lo stesso gruppo fondamentale di $S 1$ e il nostro percorso, secondo l'isomorfismo con i numeri interi citato sopra, è associato al numero -6; con qualunque altro percorso omotopo (sempre togliendo le calotte polari) avremmo ottenuto lo stesso risultato. Questo perché a ogni giro intorno alla terra corrisponde un'alba e un tramonto in più o in meno; dunque per contare i giri intorno alla terra basta fare la differenza tra questi e i giorni effettivi.

Il gruppo fondamentale del prodotto X x Y di due spazi topologici X e Y è il prodotto dei gruppi dei due spazi. Poiché il toro è omeomorfo al prodotto di due circonferenze, il suo gruppo fondamentale è Z x Z, come abbiamo visto sopra.