Bottiglia di Klein

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La bottiglia di Klein prodotta con del vetro

In matematica, la bottiglia di Klein è una superficie non-orientabile di genere 2, cioè una superficie (uno spazio topologico bidimensionale) per la quale non c'è distinzione fra "interno" ed "esterno" della superficie. La bottiglia di Klein è stata descritta per la prima volta nel 1882 dal matematico tedesco Felix Klein. È strettamente correlata al nastro di Möbius e alle immersioni del piano proiettivo reale come la superficie di Boy.

Immagina una bottiglia con un buco sul fondo. Ora estendi il collo della bottiglia. Curva il collo su sé stesso, inseriscilo attraverso un lato della bottiglia (una bottiglia di Klein in quattro dimensioni non richiederebbe questo passaggio, ma è necessario quando è rappresentata nello spazio euclideo tridimensionale), e collegalo con il buco sul fondo.

Diversamente da un bicchiere, questo oggetto non ha "bordi" dove la superficie termina bruscamente. Diversamente da un pallone, una mosca può andare dall'interno all'esterno senza attraversare la superficie (quindi non esiste realmente un "dentro" e un "fuori").

Il nome 'Bottiglia di Klein' pare essere nato da una traduzione errata del termine tedesco 'Fläche' che significa 'superficie'. Questo è stato confuso con la parola 'Flasche' che significa 'bottiglia'. Ciò nonostante, il nome è appropriato.

[modifica] Proprietà

Dividendo la bottiglia di Klein si ottiene un nastro di Möbius.

L'immersione a "figura 8" della bottiglia di Klein.

Come il nastro di Möbius, la bottiglia di Klein è una varietà differenziabile bidimensionale non orientabile. Diversamente dal nastro di Möbius, la bottiglia di Klein è una varietà chiusa, vale a dire che è una varietà compatta senza bordo. Mentre il nastro di Möbius può essere immerso nello spazio euclideo tridimensionale R³, la bottiglia di Klein non può (e infatti nelle rapprresentazioni grafiche tridimensioanli la superficie è costretta ad autointersecarsi da qualche parte) ma può essere immersa in R⁴.

La bottiglia di Klein può essere costruita (in senso matematico) "incollando" i margini di due nastri di Möbius. Se una bottiglia di Klein è divisa in due lungo il suo piano di simmetria, il risultato è un nastro di Möbius, raffigurato a destra. Ricorda che l'intersezione raffigurata non esiste veramente. Infatti è possibile tagliare la bottiglia di Klein in un singlo nastro di Möbius.

La bottiglia di Klein è l'unica eccezione alla congettura di Heawood, una generalizzazione del teorema dei quattro colori.

[modifica] Parametrizzazione

L'immersione a "figura 8" della bottiglia di Klein ha una parametrizzazione abbastanza semplice:

$x = \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v - \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \cos u$

$y = \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v - \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \sin u$

$z = \sin\frac{u}{2}\sin v + \cos\frac{u}{2}\sin 2v\!$

In questa immersione, il cerchio di auto-intersezione è un cerchio geometrico nel piano XY. La costante positiva $r$ è il raggio di questo cerchio. Il parametro $u$ esprime l'angolo nel piano XY, e $v$ specifica la posizione sulla sezione a forma di 8.