Nastro di Möbius

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Un nastro di Möbius di carta

In matematica, e più precisamente in topologia, il nastro di Möbius è un esempio di superficie non orientabile.

Indice

1 Descrizione informale
2 Geometria
3 Ispirazioni
4 Applicazioni pratiche
- 4.1 Informatica
- 4.2 Meccanica
5 Riferimenti
6 Voci correlate
7 Collegamenti esterni

[modifica] Descrizione informale

Le superfici ordinarie, intese come le superfici che nella vita quotidiana siamo abituati ad osservare, hanno sempre due "lati" (o meglio, facce), per cui è sempre possibile percorrere idealmente uno dei due lati senza mai raggiungere il secondo, salvo attraversando una possibile linea di demarcazione costituita da uno spigolo (chiamata "bordo"): si pensi ad esempio alla sfera, al toro, o al cilindro. Per queste superfici è possibile stabilire convenzionalmente un lato "superiore" o "inferiore", oppure "interno" o "esterno".

Nel caso del nastro di Möbius, invece, tale principio viene a mancare: esiste un solo lato e un solo bordo. Dopo aver percorso un giro, ci si trova dalla parte opposta. Solo dopo averne percorsi due ci ritroviamo sul lato iniziale.

Un nastro di Möbius può essere facilmente realizzato partendo da una striscia rettangolare ed unendone i lati corti dopo aver impresso ad uno di essi mezzo giro di torsione, pari a 180°. A questo punto se si percorre il nastro con una matita, partendo da un punto casuale, si noterà che la traccia si snoda sull'intera superficie del nastro che è quindi unica.

Nella costruzione, si ottiene comunque un nastro di Möbius imprimendo al lato corto n mezzi giri di torsione, con n dispari (nel nastro di Möbius "classico", n=1). Con n pari si ottiene una figura topologica diversa, questa volta orientabile, chiamata anello, equivalente ad una corona circolare.

Tagliando il nastro a metà parallelamente al bordo, si ottiene un anello. Tagliando il nastro a un terzo della sua larghezza si ottengono due nastri concatenati.

L'oggetto deve il suo nome al matematico August Ferdinand Möbius (1790-1860) che fu il primo a considerare la possibilità di costruzione di figure topologiche non orientabili.

[modifica] Geometria

Rappresentazione grafica del nastro di Möbius

Il nastro di Möbius può essere espresso come superficie in R³ avente le seguenti equazioni parametriche (in coordinate cartesiane):

$x(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\cos(u)$

$y(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\sin(u)$

$z(u,v)=\frac{v}{2}\sin\frac{u}{2}$

dove $0\leq u < 2\pi$ e $-1\leq v\leq 1$ . In questo modo si ottiene un nastro di Möbius di larghezza 1, centrato in (0,0,0) e con il cerchio centrale giacente sul piano x-y. Variando il parametro u ci si muove lungo il nastro, mentre variando v si passa "da un bordo all'altro" (anche se in realtà è sempre lo stesso).

In coordinate cilindriche (r,θ,z), una versione infinita del nastro di Möbius è rappresentata dall'equazione:

$\log(r)\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=z\cos\left(\frac{\theta}{2}\right).$

[modifica] Ispirazioni

Il simbolo internazionale del riciclaggio dei rifiuti è un esempio di Nastro di Möbius.

Il nastro di Möbius ha influenzato, nel corso degli anni, opere di vario genere.

[modifica] Arte

L'incisore e litografo olandese Maurits Cornelis Escher, nel 1961, usa il nastro di Möbius per una sua incisione su legno, Striscia di Möbius I. Di due anni più tardi è il suo Striscia di Möbius II (1963).

[modifica] Letteratura

Nel 1950 un insegnante di Harvard, Armin J. Deutsch, consigliato dall'allora suo collega Isaac Asimov, pubblica il racconto breve Una Metropolitana chiamata Moebius (A Subway named Möbius) sul numero di dicembre dello stesso anno della rivista Astounding Science Fiction. Nel racconto un treno metropolitano di Boston, seguendo un intricato percorso, finisce paradossalmente in una striscia di Möbius, formata da binari intricati, senza più poterne uscire. Questo è l'unico racconto scritto da Deutsch.

[modifica] Cinema

Nel 1996 il regista argentino Gustavo Mosquera R. fa una trasposizione cinematografica del racconto di Deutsch: Moebius. Il racconto viene adattato per il cinema da vari autori, fra cui il regista stesso, ed ambientato a Buenos Aires, in Argentina, dove il protagonista viene incaricato di trovare un professore che è scomparso dopo aver preso uno treno metropolitano dallo strano percorso.

Il nastro di Möbius è stato anche accostato da alcuni critici, come Enrico Ghezzi ^[1], alla struttura di alcuni film del regista americano David Lynch. I protagonisti di Mulholland Drive e Lost Highways, in particolare, si trovano ad un certo momento del film a rivivere scene già vissute, ma con i ruoli interscambiati, proprio come se si muovessero sull'unica faccia del nastro.

[modifica] Applicazioni pratiche

[modifica] Informatica

In campo informatico il nastro di Möbius è stato occasionalmente utilizzato per realizzare cartucce dati ad accesso casuale contenenti nastri magnetici registrati su entrambe le facce; l'accorgimento permette di raddoppiare lo spazio di memorizzazione.