Spazio semplicemente connesso

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In geometria, e più specificatamente in topologia, un oggetto geometrico è semplicemente connesso se è "fatto di un pezzo solo" e "non ha buchi". Più precisamente, uno spazio topologico è semplicemente connesso se è connesso per archi e ogni curva chiusa può essere deformata fino a ridursi a un singolo punto. Ad esempio, la palla (con o senza la parte interna) è semplicemente connessa, mentre la circonferenza e il toro non sono semplicemente connessi.

[modifica] Definizione

Sia X uno spazio topologico connesso per archi, ad esempio un sottoinsieme dello spazio euclideo "fatto di un pezzo solo". Sia p un punto di X. Un laccio centrato in p è una funzione continua f: [0, 1] → X tale che f(0) = f(1) = p. Il laccio è contraibile se esiste una omotopia che lo trasforma nel laccio costante g(t) = p per ogni t. In altre parole è contraibile se può essere "strizzato" con continuità fino a diventare arbitrariamente piccolo.

Lo spazio topologico X è semplicemente connesso se ogni laccio centrato in p è contraibile. Questa definizione non dipende dal punto scelto p. Esistono le seguenti definizioni alternative:

X è semplicemente connesso se ha gruppo fondamentale banale.
X è semplicemente connesso se, per ogni coppia di punti p e q e per ogni coppia di archi da p in q, esiste una omotopia che trasforma il primo arco nel secondo.

[modifica] Esempi

La palla di dimensioni arbitrarie, la retta, il piano, un qualsiasi spazio euclideo sono semplicemente connessi.
Un insieme convesso dello spazio euclideo è semplicemente connesso.
Il piano R² è semplicemente connesso, ma R² meno l'origine (0, 0) non lo è. Per n>2, sia Rⁿ che Rⁿ meno l'origine sono semplicemente connessi.
Analogamente, la sfera n-dimensionale è semplicemente connessa per n>1, mentre la circonferenza non lo è.
Il toro, il nastro di Moebius, la bottiglia di Klein non sono semplicemente connessi.
Il gruppo ortogonale speciale SO(n,R) non è semplicemente connesso. In generale, alcuni gruppi di Lie sono semplicemente connessi, altri no. Lo stesso vale per le varietà topologiche.
Lo spazio proiettivo complesso è semplicemente connesso, quello reale no.

[modifica] Proprietà

Una superficie è semplicemente connessa se ha genere zero, in altre parole se non ha "manici". In particolare l'unica superficie compatta e semplicemente connessa è la sfera.
L'asserzione analoga in dimensione 3 (l'unica varietà differenziabile di dimensione 3 compatta e semplicemente connessa è la sfera) è nota come congettura di Poincaré è stata probabilmente dimostrata recentemente dal matematico russo Grigori Perelman.
Uno spazio topologico X che non sia semplicemente connesso, se è sufficientemente regolare ha un rivestimento universale: questo è un altro spazio topologico semplicemente connesso che lo riveste e che eredita molte delle proprietà di X.
Un grafo semplicemente connesso è un albero.
Su un aperto semplicemente connesso di Rⁿ ogni forma chiusa è esatta, ed ogni campo vettoriale conservativo ha un potenziale.
Per il Teorema del dominio di Riemann, ogni aperto semplicemente connesso del piano è omeomorfo al disco aperto tramite una mappa olomorfa.

[modifica] Semplice connessione locale

Molti spazi possiedono versioni "locali" della proprietà di semplice connessione; è spesso utile specificare tale proprietà per escludere casi eccessivamente anomali dallo studio degli spazi non semplicemente connessi.

Uno spazio topologico X si dice semilocalmente semplicemente connesso se ogni suo punto x appartiene a un intorno U_x tale che ogni cammino chiuso in U_x sia omotopo a un cammino costante in X. Si dice invece localmente semplicemente connesso se ogni suo punto è contenuto in un intorno semplicemente connesso.

La differenza tra le due definizioni è che nel primo caso si chiede che il cammino chiuso si possa contrarre a un punto qualunque dello spazio, quindi anche uscendo dall'intorno U_x, mentre nel secondo si chiede che il punto a cui il cammino può essere contratto appartenga allo stesso intorno. La seconda definizione è quindi più forte della prima, nel senso che ogni spazio localmente semplicemente connesso è anche semilocalmente semplicemente connesso. Uno spazio semplicemente connesso gode di entrambe le prorietà locali.

Queste proprietà sono soddisfatte dalla maggior parte degli spazi topologici comunemente studiati: la circonferenza, il toro, il nastro di Moebius e la bottiglia di Klein sono esempi di spazi localmente semplicemente connessi, ma non semplicemente connessi. Per avere un esempio di uno spazio topologico che non sia localmente sempliemente connesso si consideri la seguente costruzione:

Spazio non semilocalmente semplicemente connesso

sia C(r) := { $(x,y) \in \mathbb{R}^2| x^2 + y^2 = 2ry$ } la circonferenza di raggio r passante per l'origine del piano cartesiano.

L'insieme U_nC( $\frac{1}{n}$ ), è l'unione di infinite circonferenze tangenti l'un l'altra. Ha una struttura di spazio topologico con la topologia indotta da $\mathbb{R}^2$ , ma non è semplicemente connesso: infatti, un intorno arbitrariamente piccolo dell'origine contine infinite circonferenze, ciascuna delle quali rappresenta un cammino chiuso non contraibile.