Gruppo unitario speciale

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In matematica, il gruppo unitario speciale di grado $n$ , abbreviato con SU( $n$ ), è il gruppo di $n \times n$ matrici unitarie con determinante unitario. L'operazione interna al gruppo corrisponde alla moltiplicazione tra matrici. Il gruppo speciale unitario è un sottogruppo del gruppo unitario U( $n$ ), che include tutte le matrici unitarie $n \times n$ , che è a sua volta un sottogruppo del gruppo lineare generale GL( $n$ , C).

Il caso più semplice, ovvero SU(1), è un gruppo triviale, contenente un solo elemento. Il gruppo SU(2) è isomorfo rispetto al gruppo dei quaternioni di valore assoluto pari a 1, ed è perciò diffeomorfico nei confronti di un sfera in quattro dimensioni (definita 3-sfera). Poiché quaternioni unitari posso essere usati per rappresentare rotazioni nello spazio tridimensionale, l'omeomorfismo è suriettivo da SU(2) fino al gruppo ortogonale speciale SO(3) il cui kernel è {+ $I$ , − $I$ }.

[modifica] Proprietà

Il gruppo speciale unitario SU( $n$ ) è una matrice del gruppo di Lie di dimensioni $n 2 - 1$ . Topologicamente, è compatto e strutturato in semplici connessioni. Da un punto di vista algebrico, è un semplice gruppo di Lie (ovvero l'algebra che lo compone è relativamente semplice). Il centro di SU(n) è isomorfo al gruppo ciclico Z₂. Il suo corrispondente gruppo automorfo esterno, per $n \ge 3$ , è Z₂, mentre quello di SU(2) è il gruppo triviale.

[modifica] Algebra di Lie

L'algebra di Lie corrispondente a $SU(n)$ è solitamente denotata con $\mathfrak{su}(n)$ e consiste in una matrice complessa antihermitiana $n \times n$ senza traccia, con un regolare commutatore che segue esattamente le proprietà del prodotto di Lie. È importante notare che questa è un'algebra di Lie reale e non complessa, in base alla convenzione usata dai matematici. In fisica delle particelle, invece, viene spesso inserito il fattore $i$ (l'unità immaginaria) per il semplice motivo che in questo particolare campo l'algebra di Lie complessa fornisce un espediente matematico più comodo. Per esempio

$i\sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}$

$i\sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$

$i\sigma_z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$

sono matrici utilizzate in meccanica quantistica da una base per $\mathfrak{su}(2)$ su $\mathbb{R}$ . Questa rappresentazione trova svariate applicazioni in meccanica quantistica, ad esempio nelle matrici di Pauli e di Gell-Mann, per la descrizione degli spin delle particelle fondamentali come gli elettroni. Sono indispensabili, come versori, per la rappresentazione matematica delle tre dimensioni spaziali nella relatività quantistica.

Si noti che il prodotto di due generatori diversi qualsiasi è a sua volta un generatore e che ciascuno anticommuta. Similarmente alla matrice identità (moltiplicata per $i$ ),

$i I_2 = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}$