Ideale massimale
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In matematica, in particolare nella teoria degli anelli, un ideale massimale è un ideale che risulta essere un elemento massimale (rispetto all'inclusione insiemistica) dell'insieme degli ideali propri di un anello, ovvero tale che non sia contenuto in nessun altro ideale proprio dell'anello.
Il motivo principale dell'importanza degli ideali massimali sta nel fatto che l'anello quoziente di un ideale massimale è un anello semplice e nel caso particolare di anello commutativo unitario risulta essere addirittura un campo. Un anello che contiene un solo ideale massimale si chiama anello locale.
[modifica] Definizione formale
Dato un anello A e un suo ideale proprio I, si dice che I è un ideale massimale di A se non esiste alcun altro ideale proprio J di A tale che I ⊂ J.
[modifica] Esempi
- Nell'anello Z degli interi gli ideali massimali sono gli ideali principali generati dai numeri primi.
[modifica] Proprietà
- In un anello commutativo con unità ogni ideale massimale è anche un ideale primo.
- Gli ideali massimali possono essere caratterizzati dalla proprietà di essere contenuti solamente in due ideali: l'intero anello e l'ideale massimale stesso.
- Lemma di Krull (1929): ogni anello commutativo con unità ha un ideale massimale.
- In un anello commutativo unitario un ideale è massimale se e solo se il suo anello quoziente è un campo. Questo non è più vero in un anello senza unità, ad esempio l'ideale 4Z è massimale in 2Z, ma 2Z/4Z non è un campo.
- Dalla definizione segue che in un diagramma di Hasse gli ideali massimali sono sempre collegati direttamente al punto che rappresenta l'intero anello.
