Minimo comune multiplo

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In matematica il minimo comune multiplo (mcm) di due interi a e b è il più piccolo intero positivo che è multiplo sia di a che di b. Se non esiste un intero positivo con queste proprietà, cioè se a = 0 o b = 0, allora mcm(a, b) è definito uguale a zero.

Il minimo comune multiplo è uno strumento utile per determinare la somma o sottrazione di due frazioni: in questo caso il denominatore della frazione risultante è il minimo comune multiplo delle due date. Ad esempio, nella somma

${2\over21}+{1\over6}={4\over42}+{7\over42}={11\over42},$

il denominatore è mcm(21, 6) = 42.

Se a e b non sono entrambi nulli, il minimo comune multiplo può essere calcolato usando il massimo comun divisore (MCD) di a e b e la formula seguente:

$\operatorname{mcm}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{MCD}(a,b)}.$

Quindi, l'algoritmo di Euclide per il MCD fornisce anche un veloce algoritmo per il calcolo del mcm. Ritornando all'esempio precedente,

$\operatorname{mcm}(21,6) ={21\cdot6\over\operatorname{MCD}(21,6)} ={21\cdot 6\over 3}={21\cdot 2}=42.$

Indice

1 Calcolo efficiente del mcm
- 1.1 Come ricordarsi di semplificare prima di moltiplicare
2 Metodo di calcolo alternativo
3 Esempi
4 Voci correlate
5 Collegamenti esterni

[modifica] Calcolo efficiente del mcm

La formula

$\operatorname{mcm}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{MCD}(a,b)}$

è adeguata per calcolare il mcm per piccoli numeri.

Poiché (ab)/c = a(b/c) = (a/c)b, è possibile calcolare il mcm usando la formula precedente in modo più efficiente, dapprima utilizzando il fatto che b/c o a/c sono più semplici da calcolare rispetto al divisione tra il prodotto ab e c: il fatto che c sia multiplo sia di a che di b consente di semplificare completamente il fattore c dalla frazione a/c oppure da b/c, prima di effettuare il prodotto ab.

Allora il mcm si può calcolare o così:

$\operatorname{mcm}(a,b)=\left({a\over\operatorname{MCD}(a,b)}\right)\cdot b$

oppure così:

$\operatorname{mcm}(a,b)=a\cdot\left({b\over\operatorname{MCD}(a,b)}\right).\,$

In questo modo, l'esempio precedente diventa:

$\operatorname{mcm}(21,6)={21\over\operatorname{MCD}(21,6)}\cdot6={21\over3}\cdot6=7\cdot6=42.$

Anche se i numeri sono grandi e non sono facilmente scomponibili in fattori, il MCD può essere calcolato velocemente usando l'algoritmo di Euclide.

[modifica] Come ricordarsi di semplificare prima di moltiplicare

Il metodo che segue rende impossibile dimenticarsi di semplificare prima di moltiplicare. Verrà illustrato con un esempio: come trovare il mcm(12, 8).

Si deve ridurre ai minimi termini la frazione avente come numeratore e denominatore i due numeri di cui si deve trovare il minimo comune multiplo: ${12 \over 8} = {3 \over 2}.$

Si esegue la "moltiplicazione a croce": $12\times 2 = 8\times 3.\,$

Il prodotto 12 × 2 = 8 × 3 è il mcm: 24.

[modifica] Metodo di calcolo alternativo

Il teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che ogni intero maggiore di 1 può essere scritto in un modo unico come prodotto di fattori primi. I numeri primi possono essere considerati come "atomi" che, combinati insieme, producono un numero composto.

Per esempio:

$90 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 2 \cdot 9 \cdot 5 \,\!$

Il numero composto 90 è costituito da un atomo uguale al numero primo 2, due atomi uguali al numero primo 3 e un atomo uguale al numero primo 5.

Si può usare questo teorema per trovare facilmente il mcm di un gruppo di numeri.

Per esempio: calcolare il mcm(45, 120, 75).

$45\; \, = 2^0 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \,\!$

$120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \,\!$

$75\; \,= 2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^2. \,\!$

Il mcm è il numero composto da tutti i fattori dei numeri dati, presi una sola volta con il massimo esponente. Quindi

$\operatorname{mcm}(45,120,75) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 8 \cdot 9 \cdot 25 = 1800. \,\!$

Questo è il metodo che di solito viene insegnato nella scuola italiana.

[modifica] Esempi

Calcolo di mcm(3, 5, 7 ):

i tre numeri sono primi, quindi

mcm(3,5,7)=3·5·7=105

Calcolo di mcm(7, 8, 20):

i numeri non primi devono essere scomposti in fattori primi

7=7

8=2·2·2=2³

20=2·2·5=2²·5

allora il mcm risulta

mcm(7,8,20)=7·2³·5=280.

il fattore primo 2 è stato preso con esponente massimo 3.

Analogamente si ragiona se si vuole eseguire il mcm tra espressioni algebriche: si procede alla scomposizione in fattori (monomi, binomi, trinomi..., comunque espressioni algebriche non trasformabili in prodotto di espressioni algebriche di grado inferiore) primi tra loro e si ricava il mcm tra le espressioni algebriche applicando la stessa definizione data per i numeri, ricordando che mcm(4a,bc) non è detto che sia 4abc.

Esempio: