Legge di Stevino

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La legge di Stevino è uno dei principi fondamentali della statica dei fluidi. Venne enunciata da Simon Stevin (1548-1620) nel suo trattato del 1586 De Beghinselen des Waterwichts dedicato all'idrostatica. Afferma che la pressione esercitata da una colonna di fluido di altezza h (distanza dal pelo libero del fluido, ossia la parte in alto nella colonnina aperta, a contatto con l'ambiente esterno) e densità costante $δ$ è direttamente proporzionale a h,

$P_h= {\delta} \cdot {g} \cdot {h}$

essendo l'accelerazione di gravità g = 9.8 m/sec²; se la superficie della colonna di liquido è esposta alla pressione atmosferica $P A$ allora la legge viene così modificata:

$P_h= {\delta} \cdot {g} \cdot {h} + P_A$

essendo $P A = 101325$ Pascal la pressione atmosferica standard.

La legge di Stevino deriva direttamente dall'equazione del moto di un fluido ideale:

$\vec F^{(V)} - \vec {grad} \, \vec p = \rho \frac{d\vec v}{d t}$

dove $\vec F^{(V)}$ rappresenta la forza di volume agente sul fluido, $p$ è la pressione e $ρ$ la densità. Nel caso di un fluido fermo, la condizione di equilibrio è tradotta in $\vec v = 0$ , quindi:

$\vec F^{(V)} - \vec {grad} \, \vec p = 0$

Questa equazione significa che nel caso statico le forze di volume devono uguagliare le forze di superficie. Se le forze cui è soggetto il fluido sono conservative allora la precedente equazione diventa:

$\vec F^{(V)} = - \vec {grad} \, U = \vec {grad} \vec p$

dove $U = ρ g z + c o s t$ è l'energia potenziale dovuta alla forza di volume. L'equazione indica tralaltro, che le superfici equipotenzali nel caso di fluido ideale sono anche superfici isobare. Supponendo che il fluido sia incomprimibile (come nel caso dei liquidi):

$\frac{d p}{d z} = - \rho g$

che integrata tra due quote $z_1 = h_1 \longrightarrow p(z_1) = p_1$ e $z_2 = h_2 \longrightarrow p(z_2) = p_2$ :

p 2 - p 1 = ρ g (z 2 - z 1)

che è appunto la legge di Stevino.

Supposto il liquido omogeneo, la pressione idrostatica è in ogni suo punto interno direttamente proporzionale alla distanza dalla superficie libera, alla densità del liquido e all'accelerazione di gravità. A questa va sommata la pressione atmosferica alla superficie del liquido, che si trasmette in tutto il fluido per il principio di Pascal.

In forma differenziale, la legge diventa

$d P = δ g d u$

Se la densità è costante si ha $z + \frac{P}{\gamma} = \zeta$ , dove z è l' altezza geodetica da un piano di riferimento, γ è il peso specifico del liquido e ζ è la quota piezometrica, costante.

Si deduce quindi che la differenza di pressione tra due punti di uno stesso liquido ad altezze diverse è dato semplicemente dal prodotto del peso specifico per la loro distanza: $z_a + \frac{P_a}{\gamma} = z_b + \frac{P_b}{\gamma} \longrightarrow (P_a - P_b) = \gamma (z_b - z_a)$ .

Se la densità e la gravità variano con l'altezza, la legge diventa $P_h=\int_0^h \delta (u) g(u) udu$

La legge di Stevino è alla base dei cosiddetti paradossi idrostatici.

[modifica] Applicazioni

Tramite la legge di Stevino applicata ad una colonna di mercurio liquido, può essere dedotto il valore della pressione atmosferica misurata col barometro di Torricelli. Lo stesso principio è utilizzato in diversi strumenti di misura.

Nel caso dell'acqua ( $δ$ =1000 kg/m³), la pressione aumenta di 9800 Pascal per ogni metro di profondità, ovvero di circa 1 atmosfera ogni 10 metri di profondità. Nel caso dell'acqua, la pressione del liquido eguaglia quella atmosferica ad una profondità critica di 10 metri:

                     , da cui:
              
                                 metri.

Il principio è utilizzato nei comuni pozzi artesiani nei quali l'acqua affiora spontaneamente e sgorga in superficie, se profondità è maggiore della soglia critica calcolata.

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