Leggi di Keplero

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Le tre leggi del movimento dei pianeti sono il principale contributo di Johannes Kepler, detto Keplero, all'astronomia e all'astrofisica. Keplero le derivò in parte studiando le osservazioni di Brahe. Isaac Newton avrebbe più tardi verificato la validità di queste leggi alla luce della teoria della gravitazione universale.

Indice

1 Prima legge (1608)
2 Seconda legge (1609) o legge delle aree
3 Terza legge (1619)
4 Limiti di validità delle leggi di Keplero
5 Collegamenti esterni

[modifica] Prima legge (1608)

L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.

Parametri caratteristici dell'orbita

Per la prima volta nella storia della scienza Keplero elimina dall'astronomia le sfere celesti e ipotizza per i pianeti un moto diverso da quello circolare. Osserviamo che, poiché l'ellisse è una figura piana, i moti dei pianeti avvengono in un piano, detto piano orbitale. Per la terra tale piano è detto eclittica.

Nella figura a fianco è rappresentata un'orbita ellittica, con indicati i suoi parametri caratteristici: semiasse maggiore (a), semiasse minore (b), distanza focale (c), eccentricità (e).
Tra questi parametri esistono le relazioni seguenti:

$c = \sqrt{a^2 - b^2}$

$e=\frac {c}{a}$

L'ellisse in figura ha un'eccentricità di circa 0.5 e potrebbe rappresentare l'orbita di un asteroide. I pianeti hanno in realtà eccentricità molto più piccole: 0.0167 per la Terra , 0.0934 per Marte, 0.2482 per Plutone.
La distanza dei pianeti dal Sole non è costante, ma varia da un massimo (afelio) ad un minimo (perielio).

[modifica] Seconda legge (1609) o legge delle aree

Il raggio vettore che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali.

Illustrazione della legge delle aree

Consideriamo ora alcune conseguenze di questa legge.

La velocità orbitale non è costante, ma varia lungo l'orbita. Le due aree evidenziate nella figura qui a fianco sono infatti uguali e vengono quindi percorse nello stesso tempo. In prossimità del perielio, dove il raggio vettore è più corto che all'afelio, l'arco di ellisse è corrispondentemente più lungo. Ne segue quindi che la velocità orbitale è massima al perielio e minima all'afelio. Per l'orbita qui raffigurata, la velocità al perielio è circa 3 volte la velocità all'afelio.
Il momento angolare orbitale del pianeta si conserva (vedi riquadro sotto per la dimostrazione).
La velocità lungo una determinata orbita è inversamente proporzionale al modulo del raggio vettore. Questa è una conseguenza della conservazione del momento angolare. Se L, dato dal prodotto di m, r e v_t è costante ne discende che v_t è inversamente proporzionale a r (si veda "momento angolare" per la definizione di L, m, r e v_t).
Sul pianeta viene esercitata una forza centrale, cioè diretta secondo la congiungente tra il pianeta e il sole. La seconda legge della dinamica per i sistemi in rotazione è $\operatorname d \mathbf L/\operatorname d t = \mathbf M$ , dove M è il momento della forza applicata. Poiché L si conserva, la sua variazione è nulla e quindi anche M è nullo. Questo può accadere solo se F è parallelo ad r, cioè è diretto come la congiungente con il sole.

Nella figura qui a fianco OA rappresenta il raggio vettore e AB la traiettoria del pianeta nel tempo Δ t. Se Δ t è sufficientemente piccolo, AB può essere approssimato da un segmento di retta. Sia inoltre θ l'angolo tra il raggio vettore e AB. Nel tempo Δ t viene quindi descritta un'area $\Delta S = \frac {1}{2}{OA} \cdot {AB}\cdot sin(\theta)$
. La velocità areolare è quindi $v_A=lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac {\Delta S} {\Delta t}=\frac{1}{2}v r sin(\theta)$ , essendo $v=lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac {AB} {\Delta t}$ la velocità orbitale istantanea. Poiché m v r sin(θ) è il modulo del momento angolare, risulta $v_A=\frac {L}{2m}$ . Se v_A è costante, anche L lo è.

[modifica] Terza legge (1619)

I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono direttamente proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite.

Questa legge è valida anche per i satelliti che orbitano intorno ai pianeti e può essere espressa in forma matematica nel modo seguente:

$T^2= K \cdot {a^3}$ ,

dove K è una costante (a volte detta di Keplero), che dipende dal corpo celeste preso in considerazione (il Sole o qualcuno degli altri pianeti). Per un'orbita circolare la si riduce a

$T^2= K \cdot {r^3}$

dove r è il raggio dell'orbita.

[modifica] Limiti di validità delle leggi di Keplero

Va specificato che le leggi di Keplero sono precise nella misura in cui sono soddisfatte le seguenti ipotesi:

la massa del pianeta è trascurabile rispetto a quella del sole;
si possono trascurare le interazioni tra diversi pianeti (tali interazioni portano a leggere perturbazioni sulla forma delle orbite).