Sottospazio affine
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Uno spazio affine è uno spazio vettoriale senza un punto di origine. Assegnando quindi un qualsiasi punto di riferimento, lo spazio affine diventa uno spazio vettoriale, per cui valgono tutte le proprietà degli spazi vettoriali: in particolare le nozioni di dipendenza e indipendenza lineare e di base. Poiché le nozioni di sottospazi vettoriali sono identiche a quelle affini si può limitare a considerare il sottospazio vettoriale affine .
Ogni vettore dello spazio affine può essere rappresentato come P − Q dove P e Q sono due punti dello spazio affine.
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[modifica] Definizione generale
Un sottospazio affine K di uno spazio affine A sullo spazio vettoriale E è un sottoinsieme di A tale che esiste un sottospazio vettoriale F di E ed una applicazione che sia restrizione dell'applicazione caratterizzante A, cioè se
è l'applicazione per cui
, allora φ'(P,Q) = φ(P,Q) per ogni P, Q in K.
[modifica] Dipendenza e indipendenza lineare
Possiamo dare un significato geometrico alla dipendenza e indipendenza lineare di vettori:
2 vettori dello spazio sono linearmente dipendenti allora sono paralleli e viceversa.
3 vettori dello spazio sono linearmente dipendenti allora sono complanari e viceversa.
Assegnamo quindi un punto P0 = (x0,y0,z0) dello spazio affine, si chiama retta affine il sottospazio affine l'insieme dei punti:
dove è il vettore direzione della retta e
Si chiama piano affine il sottospazio:
dove sono vettori di giacitura non allineati del piano e
.
Assumendo in un punto O una base nello spazio affine ogni vettore è rappresentabile nella forma
con
che sono le coordinate del vettore.
In termini di coordinate due vettori e
di
sono paralleli se e solo se:
In termini di coordinate tre vettori ,
e
di
sono complanari se e solo se:
[modifica] Equazioni parametriche e cartesiane della retta affine
Una retta affine ha una rappresentazione parametrica:
dove sono i parametri direttori della retta.
Se invece di avere un punto e un vettore direttore abbiamo due punti P0 = (x0,y0,z0) e P1 = (x1,y1,z1) allora la retta ha equazioni parametriche:
dove (x1 − x0) = l,(y1 − y0) = m,(z1 − z0) = n
Per passare ad una rappresentazione cartesiana della retta sfruttiamo il fatto che il vettore P − P0 = (x − x0,y − y0,z − z0) deve appartenere alla retta e la nozione di parallelismo ci dice che questo vettore e il vettore direttore devono avere:
e questo equivale ad un sistema di due equazioni lineari omogenee. In alternativa a risolvere il sistema possiamo eliminare il parametro t dalle equazioni parametriche e risolvendo le equazioni si ritrovano le equazioni cartesiane della retta.
La retta affine può essere rappresentata anche come intersezione di due piani, cioè come soluzione del sistema lineare:
[modifica] Equazioni parametriche e cartesiane del piano affine
Una piano affine : ha una rappresentazione parametrica:
dove e
sono i vettori di giacitura non allineati del piano e
.
Se invece di avere un punto e un vettore direttore abbiamo tre punti non allineati P0 = (x0,y0,z0), P1 = (x1,y1,z1) e P2 = (x2,y2,z2, allora il piano ha equazioni parametriche:
dove (x1 − x0) = l,(y1 − y0) = m,(z1 − z0) = n e (x2 − x0) = l',(y2 − y0) = m',(z2 − z0) = n'.
Per passare ad una rappresentazione cartesiana della retta sfruttiamo il fatto che il vettore P − P0 = (x − x0,y − y0,z − z0) deve essere complanare al piano individuato dai vettori di giacitura e insieme alla nozione di complanarità si deve avere:
e questo equivale ad un'equazione del tipo:
- ax + by + cz + d = 0.
dove .
In alternativa a risolvere la matrice possiamo eliminare i parametri t ed s dalle equazioni parametriche e risolvendo le equazioni si ritrovano le equazioni cartesiane del piano.
[modifica] Posizione dei piani
Due piani π:ax + by + cz + d = 0 e π':a'x + b'y + c'z + d' = 0 possono essere:
- paralleli: se e solo se hanno la stessa giacitura cioè se:
e questo significa che i coefficienti dei piani devono essere proporzionali.
- coincidenti se:
- abbiamon visto che se:
per il Teorema di Rouché-Capelli allora si intersecano lungo una retta.
[modifica] Posizione delle rette nel piano
Per quanto riguarda le rette nel piano r:ax + by + c = 0 e r':a'x + b'y + c' = 0 esse possono essere:
- parallele se:
- coicidenti se:
- si intersecano in un punto se:
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Per approfondire, vedi la voce Fascio di piani. |
Si possono ancora definire proprietà affini di piani e rette considerando i fasci di piani e i fasci di rette.