Geometria affine
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In matematica, la geometria affine è un tipo di geometria simile a quella euclidea, in cui non sono però presenti i concetti di angolo e lunghezza. Occupa un posto intermedio fra la geometria euclidea e la geometria proiettiva, e fa largo uso dell'algebra lineare.
Protagonista della geometria affine è lo spazio affine, un oggetto simile allo spazio vettoriale privato del suo "punto privilegiato" (l'origine).
Indice |
[modifica] Spazi affini
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Per approfondire, vedi la voce spazio affine. |
Lo spazio affine è un insieme E, tale che ad ogni coppia di punti p e q sia associato un vettore φ(p,q) di un determinato spazio vettoriale V. Nella definizione non ci sono restrizioni sul campo associato allo spazio V, che può essere ad esempio quello dei numeri reali, o complessi.
La funzione che associa a due punti un vettore deve soddisfare un paio di assiomi, che garantiscono che, fissato un punto qualsiasi p come origine dello spazio, i vettori φ(p,q) al variare di q formino uno spazio vettoriale isomorfo a V.
[modifica] Trasformazioni affini
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Per approfondire, vedi la voce trasformazione affine. |
Una trasformazione affine fra due spazi affini è la composizione di una traslazione e una trasformazione lineare: quest'ultima ha senso dopo aver fissato un punto p come origine. L'immagine di un sottospazio affine tramite questa trasformazione è sempre un sottospazio affine. Nel caso in cui la trasformazione sia un isomorfismo, la dimensione del sottospazio è preservata.
[modifica] Proprietà
In uno spazio affine, due sottospazi possono non intersecarsi. Ad esempio, nello spazio affine tridimensionale ci sono rette e piani paralleli. Per questo motivo non vale la formula di Grassmann.
La geometria affine è intermedia fra la geometria degli spazi vettoriali e quella proiettiva: in uno spazio vettoriale i sottospazi sono costretti a passare per l'origine. Lo spazio affine viene quindi costruito per ovviare a questa mancanza innaturale, ma in questo modo viene persa la formula di Grassmann, e in molti problemi si allunga la lista dei casi da considerare: due rette possono essere incidenti, complanari, sghembe... Lo spazio proiettivo elimina nuovamente fenomeni di parallelismo aggiungendo dei "nuovi punti all'infinito", senza ripristinare un "punto privilegiato".
[modifica] Applicazioni
Lo spazio affine è usato come modello dello spazio tridimensionale in cui viviamo nella fisica classica. Questo modello non è però soddisfacente per modellizzare lo spazio su grandi scale nella fisica relativistica.
