Teorema del campionamento di Nyquist-Shannon

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Il teorema del campionamento (erroneamente detto di Nyquist-Shannon) definisce la frequenza minima di campionamento di un segnale, necessaria per evitare distorsioni dello stesso.

Dato un segnale, con larghezza di banda finita e nota, la frequenza minima di campionamento di tale segnale deve essere almeno il doppio della sua massima frequenza.

Il teorema, comparso per la prima volta nel 1949 in un articolo di C. E. Shannon, dovrebbe chiamarsi Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon, secondo l'ordine cronologico di chi ne dimostrò versioni via via più generalizzate.

Il campionamento è un passo del processo di conversione analogico-digitale di un segnale. Consiste nel prelievo di campioni (samples) da un segnale analogico e continuo nel tempo ogni $\Delta t\,\!$ secondi.

$\Delta t\,\!$ è l'intervallo di campionamento, mentre $F_s = \frac{1}{\Delta t}$ è la frequenza di campionamento. Il risultato è un segnale analogico in tempo discreto. Tale segnale sarà in seguito quantizzato, codificato e quindi reso accessibile a qualsiasi elaboratore digitale.

In pratica il teorema del campionamento pone un vincolo per la progettazione di apparati di conversione analogico-digitale: se si ha a disposizione un campionatore che lavora a frequenza $F_s\,\!$ , è necessario mandargli in ingresso un segnale a banda limitata da $\frac{F_s}{2}\,\!$ .
In generale un segnale analogico non è limitato in frequenza, ma dovrà essere filtrato per eliminare le componenti di frequenza maggiore di $\frac{F_s}{2}\,\!$ , a tale scopo di usa un filtro antialias.

[modifica] Enunciato

Un segnale $f(t)\,\!$ a banda limitata da $f_M\,\!$ può essere univocamente ricostruito dai suoi campioni $f(n\Delta t)\ (n\in \mathbb{N})\,\!$ presi a frequenza $F_s=\frac{1}{\Delta t}\,\!$ , se $F_s \ge 2f_M\,\!$ .

[modifica] Dimostrazione

Sia $F(\omega)\,\!$ la trasformata di fourier di $f(t)\,\!$ . Poiché $f(t)\,\!$ ha come limite di banda $f_M\,\!$ , risulta $f(\omega)=0\,\!$ per $|\omega|> 2\pi f_M\,\!$ . Sia $W=\frac{F_s}{2}\,\!$ , allora per ipotesi: $W\ge f_M\ \longrightarrow\ F(\omega)=0;\ \forall \ |\omega| > 2 \pi W\,\!$ .

Fig. 1: La funzione $F(\omega)\,\!$

Sia $Q(\omega)\,\!$ la funzione periodica di periodo $4\pi W\,\!$ che coincide con $F(\omega)\,\!$ nell'intervallo $[-2\pi W,2\pi W]\,\!$ .

Fig. 2: La funzione è la trasformata di fourier del segnale campionato . Come si nota è periodica di periodo e coincide con in .

Fig. 2: La funzione $Q(\omega)\,\!$ è la trasformata di fourier del segnale campionato $f(n\Delta t)\,\!$ . Come si nota è periodica di periodo $4\pi W\,\!$ e coincide con $F(\omega)\,\!$ in $[-2\pi W,2\pi W]\,\!$ .

Il suo sviluppo in serie di Fourier sarà:

$Q(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{j\frac{n}{2W}\omega}\qquad \textrm{dove}\qquad c_n=\frac{1}{4\pi W}\int_{-2\pi W}^{2\pi W}Q(\omega)e^{-j\frac{n}{2W}\omega}d\omega\,\!$

Poiché $Q(\omega) = F(\omega)\,\!$ in $[-2\pi W,2\pi W]\,\!$ possiamo porre:

$c_n=\frac{1}{4\pi W}\int_{-2\pi W}^{2\pi W}F(\omega)e^{-j\frac{n}{2W}\omega}d\omega$

$(1)\,\!$

Osserviamo ora che $f(t)\,\!$ è l'antitrasformata di Fourier di $F(\omega)\,\!$ , cioè:

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-2\pi W}^{2\pi W}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega$

$(2)\,\!$

Dalle $(1)\,\!$ e $(2)\,\!$ si ottiene:

$c_n=\frac{1}{2W}f(-\frac{n}{2W})=\Delta t f(-n\Delta t)\ \textrm{Ricordiamo}\ \textrm{che:}\ W=\frac{F_s}{2}=\frac{1}{2\Delta t} \,\!$

Definiamo:

$rett_W(\omega)=\left\{\begin{matrix} 1\ & \textrm{se}\ |\omega|\le 2\pi W\\ 0\ & \textrm{se}\ |\omega|>2\pi W \end{matrix}\right.\,\!$

allora:

$F(\omega)\,\!$	$=Q(\omega)\cdot rett_W(\omega)\,\!$
	$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{j\frac{n}{2W}\omega}rett_W(\omega)\,\!$
	$=\Delta t\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(-n\Delta t) e^{jn\Delta t\omega}rett_W(\omega)\,\!$	$(3)\,\!$

$f(t)\,\!$	$=\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)]\,\!$
	$=\Delta t\sum_{k=-\infty}^{+\infty} f(k\Delta t)\frac{sin(\frac{\pi}{\Delta t}t-k\pi)}{\pi(t-k\Delta t)}\,\!$	$(4)\,\!$

La $(3)\,\!$ e la $(4)\,\!$ mostrano che $F(\omega)\,\!$ ,e quindi anche la sua antitrasformata $f(t)\,\!$ , possono essere ricostruite sulla base della conoscenza di $f(n\Delta t)\,\!$ , come volevasi dimostrare.

[modifica] Spiegazione

Fig. 3: Se ha componenti in frequenza maggiori di allora le ripetizioni periodiche di si sovrappongono ed il segnale ricostruito risulta distorto.

Fig. 3: Se $F(\omega)\,\!$ ha componenti in frequenza maggiori di $\frac{F_s}{2}\,\!$ allora le ripetizioni periodiche di $Q(\omega)\,\!$ si sovrappongono ed il segnale ricostruito $(4)\,\!$ risulta distorto.

Lo spettro di un segnale campionato (Fig. 2 e 3) è uguale allo spettro del segnale originale ripetuto periodicamente in frequenza. Il periodo di questa ripetizione è uguale alla metà della frequenza di campionamento $F_s\,\!$ , quindi se la frequenza massima del segnale originale supera $\frac{F_s}{2}\,\!$ (Fig. 3) le ripetizioni nello spettro del segnale campionato si sovrappongono. Questa sovrapposizione rende impossibile l'esatta ricostruzione del segnale originale (l'ipotesi alla base del passaggio (1) non è più soddisfatta) e tale ricostruzione risulterà distorta (effetto aliasing). Per questo motivo ogni apparato di conversione analogico-digitale ha un filtro anti-alias a monte del campionatore, il ruolo di tale filtro è quello di eliminare dal segnale in ingresso le componenti di frequenza maggiori della metà della frequenza di campionamento dell'apparato $\frac{F_s}{2}\,\!$ .

[modifica] Nota

Se si ha a disposizione un'apparato di conversione A/D che lavora ad una data frequenza $F_s\,\!$ e si è interessati alle componenti di di un segnale che superano $\frac{F_s}{2}\,\!$ si possono seguire strade diverse:

Comprare uno strumento più veloce
Utilizzare tecniche di sottocampionamento

La seconda opzione è realizzabile quando le frequenze di interesse sono racchiuse in un range $\Delta F = F_{max}-F_{min} < \frac{F_s}{2}\,\!$ , anche se sia $F_{max}\,\!$ che $F_{min}\,\!$ superano $\frac{F_s}{2}\,\!$ (quello che conta è la differenza). In questo caso tuttavia il limite imposto dal teorema del campionamento non è più sufficiente a garantire un campionamento corretto.