리만 제타 함수
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리만 제타 함수(Riemann zeta function) ζ(s)는 수론에서 매우 중요한 제타 함수의 일종으로, 소수의 분포와 관련이 있다.
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[편집] 정의
리만 제타 함수는 실수부가 1보다 큰 임의의 복소수 s에 대해, 다음과 같은 디리클레 수열로 정의된다.
{s ∈ C : Re(s) > 1} 영역에서, 이 무한급수는 수렴하고, 위 식은 해석적 함수(holomorphic function)를 정의한다. 리만은 제타 함수가 s ≠ 1인 모든 점에서 정의된 유리형 함수로 유일하게 해석적 연속화 가능하다는 것을 알았으며 리만 가설에 등장하는 제타 함수는 확장된 리만 제타 함수를 뜻한다.
[편집] 예제
다음은 작은 수에 대한 제타 함수의 값이다. [1]
; 이것은 조화수열이다.
; 이것은 원주율의 근사값을 구하기 위해 종종 사용된다.
현재 리만제타함수가 실수부가 짝수(2N)인 실수에서는 π2N의 유리수배, 즉 초월수임이 알려졌고, 홀수일 때에는 3의 제타함수값은 무리수이라는 것만이 알려져 있다.
[편집] 소수와의 연관성
오일러는 이 함수가 소수와 다음과 같은 관계가 있다는 걸 알아냈다.
즉 리만 제타 함수는 모든 소수 p에 대해 위와 같은 무한 곱으로 나타내어진다. 위 식은 오일러 곱 공식이라 불리며, 등비급수의 식과 정수론의 기본 정리로부터 유도할 수 있다.
[편집] 일반화
리만 제타 함수를 일반화한 몇 가지 제타 함수가 있다. 그 중 가장 간단한 것은 후르비츠 제타 함수이며 다음과 같이 정의된다.
이 함수는 q = 1일 때 리만 제타 함수가 된다.
