Riemannova funkcija zeta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Riemannova funkcija zeta $ζ(s)$ je v matematiki specialna funkcija, definirana za vsako kompleksno število s z realnim delom > 1 kot:

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}$

V območju {s : Re(s) > 1}, ta neskončna vsota konvergira in definira holomorfno funkcijo. (V tem izrazu Re pomeni realni del kompleksnega števila.) Bernhard Riemann je ugotovil, da lahko funkcijo zeta razširimo s pomočjo analitičnega nadaljevanja na en sam način v holomorfno funkcijo $ζ(s)$ , definirano za vsa kompleksna števila s, za katera velja s ≠ 1. Tako dobljena funkcija je predmet Riemannove domneve.

Že Leonhard Euler je opazil povezavo med to funkcijo in praštevili:

$\zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}$

kjer neskončni produkt teče po vseh praštevilih p. To je posledica enačbe za geometrična zaporedja in osnovnega izreka aritmetike.

Ničle funkcije ζ(s) so pomembne, ker lahko uporabimo določene krivuljne integrale, ki vključujejo funkcijo ln(1/ζ(s)), za aproksimacijo funkcije za štetje praštevil π(x) (glej praštevilski izrek). Te krivuljne integrale izračunamo s pomočjo izreka o ostankih, torej potrebujemo vedenje o singularnostih integranda.

Funkcija zeta zadošča naslednji funkcijski enačbi:

$\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)$

veljavni za vse s v C - {0,1}. Tu Γ pomeni funkcijo gama. Ta enačba se tako ali tako uporablja za konstrukcijo analitičnega nadaljevanja. Pri s = 1 ima funkcija zeta preprost pol z ostankom 1.

Euler je lahko izračunal ζ(2k) za soda cela števila 2k s pomočjo enačbe

$\zeta(2k) = \frac{B_{2k}(2\pi)^{2k}}{2(2k)!}$

kjer so B_2k Bernoullijeva števila. Iz tega se vidi, da velja ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945 itd. To nam daje dobro znane neskončne vsote za π. Za liha cela števila to ni tako preprosto. Ramanujan je v zvezi s tem opravil nekaj velikega dela.

Inverz funkcije zeta lahko izrazimo s pomočjo Möbiusove funkcije μ(n) kot sledi:

$\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infin} \frac{\mu(n)}{n^s}$

za vsako kompleksno število s z realnim delom > 1. To lahko skupaj z zgornjim izrazom za ζ(2) uporabimo za dokaz, da je verjetnost, da sta si dve naključno izbrani celi števili tuji enaka 6/π². Na podoben način Riemannova funkcija zeta generira veliko aritmetičnih funkcij. Na primer z Mertensovo funkcijo:

$\frac{1}{\zeta(s)} = s \int_1^{\infty} \frac{M(x)}{x^{s+1}} dx \; .$

Riemannova funkcija $ζ$ je določena tudi z Dirichletovo vrsto, kjer je $ζ(s)$ prototip, ki generira konstantno aritmetično funkcijo $f (n) = 1$ za vse n:

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} f(n) {1\over n^{s}} \; .$

Kvadrat Euler-Riemannove funkcije $ζ(s)$ generira funkcijo število deliteljev $τ(n)$ :

$\zeta(s)^{2} = \sum_{n=1}^{\infty} {\tau(n)\over n^{s}} \; .$

Čeprav matematiki mislijo, da je Riemannova funkcija zeta pomembna predvsem za »najčistejšo« matematično disciplino, teorijo števil, se pojavlja tudi v uporabni statistiki (glej Zipfov zakon in Zipf-Mandelbrotov zakon), fiziki, in matematični teoriji uglaševanja glasbil.

Vzpostavljeno iz »http://sl.wikipedia.org../../../r/i/e/Riemannova_funkcija_zeta.html«

Kategorije: Teorija števil | Specialne funkcije | Bernhard Riemann