Riemannsche ζ-Funktion

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Die Riemannsche ζ-Funktion (nach Bernhard Riemann) ist eine Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt. Zudem ist sie eine bedeutende Dirichlet-Reihe.

[Bearbeiten] Definition

Für komplexe Zahlen $s\in\mathbb C$ , deren Realteil größer als 1 ist, ist die Zetafunktion definiert durch

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}=1+\frac1{2^s}+\frac1{3^s}+\frac1{4^s}+\ldots$

Diese Summe lässt sich aufgrund der eindeutigen Zerlegung natürlicher Zahlen in Primzahlen (vgl. dazu auch das Beweisarchiv) auch als Produkt schreiben.

$\zeta(s) = \prod_{p\ \mathrm{prim}}\frac1{1-1/p^s}=\frac1{(1-1/2^s)(1-1/3^s)(1-1/5^s)\cdots}.$

Die Zetafunktion besitzt eine analytische Fortsetzung auf $\mathbb C\setminus\{1\}$ . Bei $s = 1$ hat sie einen einfachen Pol mit Residuum 1, die zugehörige Laurentreihe hat die Form

$\zeta(s) = \frac1{s-1}+\gamma+\mathrm{h\ddot ohere\ Terme};$

dabei ist $γ$ die Euler-Mascheroni-Konstante.

[Bearbeiten] Funktionalgleichung

Auf ganz $\mathbb C$ gilt als Identität zwischen meromorphen Funktionen

$\zeta(1-s) = {2\over (2\pi)^s}\cdot\Gamma(s)\cdot\cos\frac{\pi s}2\cdot\zeta(s).$

Dabei bezeichnet $Γ(s)$ die Gammafunktion.

[Bearbeiten] Spezielle Werte

Im folgenden sei $B k$ die $k$ -te Bernoulli-Zahl in der durch die Gleichheit

$\frac{t}{\mathrm e^t-1} = \sum_{k\geq0}B_k\frac{t^k}{k!}$

festgelegten Normierung.

[Bearbeiten] Gerade natürliche Zahlen

Für eine positive ganze Zahl $n$ ist

$\zeta(2n) = (-1)^{n-1}\,\frac{(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}\,B_{2n}.$

Beispielsweise ist

$\zeta(2) = 1+\frac14+\frac19+\frac1{16}+\ldots=\frac{\pi^2}6,\quad\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90},\quad\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}.$

Diese Formeln wurden von Euler entdeckt und 1734 in seiner Arbeit De Summis Seriarum Reciprocarum erstmals veröffentlicht.

Daneben gibt es auch eine höchst bemerkenswerte Rekursionsformel

$\zeta(2n) = \frac{1}{n+{1\over 2}} \cdot\sum_{k=1}^{n-1} \zeta(2k) \cdot \zeta(2(n-k))$ ,

die allerdings Euler noch nicht bekannt war.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl quadratfrei ist, ist gleich $\frac{1}{\zeta(2)}$ .

[Bearbeiten] Ungerade natürliche Zahlen

Über den Wert der Zetafunktion für ungerade natürlichen Zahlen ist nur sehr wenig bekannt. Beispielsweise weiß man, dass $ζ(3)$ irrational ist.

[Bearbeiten] Nichtpositive ganze Zahlen

Für eine ganze Zahl $k > 0$ gilt

$\zeta(1-k)=-\frac{B_k}k.$

Über die Funktionalgleichung ist diese Formel äquivalent zur oben angegebenen Formel für die Werte auf den geraden natürlichen Zahlen. Insbesondere gilt

$\zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \ldots = 0;$

weitere Werte sind

$\zeta(0) = -\frac12,\quad\zeta(-1)=-\frac1{12},\quad\zeta(-3)=\frac1{120}.$

[Bearbeiten] Nullstellen der Zetafunktion

Aus der Produktdarstellung kann man leicht folgern, dass $\zeta(s)\not=0$ für $\mathrm{Re}\,s>1$ gilt. Zusammen mit der Funktionalgleichung ergibt sich, dass die einzigen Nullstellen außerhalb des kritischen Streifens

$\{ s\in\mathbb C\mid 0\leq\mathrm{Re}\,s\leq1\}$

die „trivialen“ Nullstellen $-2,-4,-6,\ldots$ sind.

Die Lage der Nullstellen im kritischen Streifen hängt eng mit Aussagen über die Verteilung der Primzahlen zusammen. Beispielsweise ist die Aussage, dass auf dem Rand des kritischen Streifens keine Nullstellen liegen, ein möglicher Zwischenschritt beim Beweis des Primzahlsatzes. Weitere Vergrößerungen des „nullstellenfreien Bereiches“ implizieren Restgliedabschätzungen im Primzahlsatz. Riemann vermutete im Jahr 1856, dass alle Nullstellen auf der Geraden $\{s\mid\mathrm{Re}\,s=1/2\}$ liegen. Diese so genannte Riemannsche Vermutung konnte bislang weder bewiesen noch widerlegt werden.

[Bearbeiten] Literatur

J. Neukirch, Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6
R. Remmert, Funktionentheorie 1. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-55233-2
D. B. Zagier: Zetafunktionen und quadratische Körper (Teil 1, insbesondere § 4). Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1981. ISBN 3-540-10603-0
Edward Charles Titchmarsh: The Zeta-Function of Riemann (1930)
Edward Charles Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta-Function (1951)

[Bearbeiten] Weblinks

Die folgenden Arbeiten sind englisch, aktuell und verschaffen einen schnellen Überblick:

Xavier Gourdon and Pascal Sebah: Definition
Xavier Gourdon and Pascal Sebah: Allgemeines
Xavier Gourdon and Pascal Sebah: Numerische Berechnung
Xavier Gourdon and Pascal Sebah: Nullstellen
P. CERONE: BOUNDS FOR ZETA AND RELATED FUNCTIONS, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Volume 6, Issue 5, Article 134, 2005 (enthält Abschätzungen der Zetafunktion für ungerade n)
Funktionswerte für n = 2,3,...10

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