아이디얼
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수학의 환론에서 아이디얼(ideal)은 환의 (아래에 설명된) 특정한 조건을 만족하는 부분집합을 말한다. 많은 경우 일반적인 환의 아이디얼들은 정수환의 정수들이 만족하는 좋은 성질들을 물려받으며, 따라서 아이디얼의 개념은 정수론을 보다 일반적인 환에 대해 확장하기 위한 것으로 볼 수 있다.
환론에서는 소수의 개념을 확장한 소 아이디얼을 다루며, 서로소인 수의 개념을 확장해 서로소인 아이디얼을 정의하고, 이렇게 확장된 의미에서 중국인의 나머지 정리를 증명할 수 있다. 수론에서 중요한 개념인 데데킨트 정역의 경우, 아이디얼에 대해 산술의 기본정리 까지도 성립함을 보일 수 있다. (즉, 임의의 0이 아닌 아이디얼은 소 아이디얼들의 곱으로 유일하게 표현할 수 있다.)
군론에서 군을 정규부분군으로 나눠 인자군(factor group)을 만드는 것과 마찬가지로, 환론에서는 환을 아이디얼로 나눠 인자환을 만들 수 있다.
[편집] 정의
R이 환이고, (R, +)가 그 환이 가진 덧셈군 구조이며, I가 R의 부분집합으로서 (I, +)가 (R, +)의 부분군이라 하자. 이때
- I가 R의 우아이디얼(right ideal)이라 함은 I의 임의의 원소 x와 R의 임의의 원소 r에 대해 xr이 I의 원소인 경우를 말한다.
- I가 R의 좌아이디얼(left ideal)이라 함은 I의 임의의 원소 x와 R의 임의의 원소 r에 대해 rx가 I의 원소인 경우를 말한다.
즉, 우아이디얼의 원소는 우측에 곱셈을 해도 여전히 그 우아이디얼을 벗어나지 않으며, 좌아이디얼의 원소는 좌측에 곱셈을 해도 그 좌아이디얼을 벗어나지 않는다. 예를 들어, 임의의 R의 원소 p에 대해 pR은 우아이디얼이고 Rp는 좌아이디얼이다. 이들은 각각 p에 의해 생성되는 주 우아이디얼(principal right ideal) 및 주 좌아이디얼이라고 불린다.
R의 좌아이디얼은 반환(opposite ring) Ro의 우아이디얼과 일치하며, 이는 반대로도 성립한다. 양측 아이디얼(two-sided ideal)은 좌아이디얼인 동시에 우아이디얼인 부분집합을 말하며, 많은 경우 수식어가 없이 그냥 아이디얼이라고 하면 양측 아이디얼을 말한다. R이 가환환일 때는 좌아이디얼과 우아이디얼 및 양측 아이디얼은 전부 같은 개념이 되며, 따라서 수식어 없이 '아이디얼'이라는 표현만을 사용한다.
R의 아이디얼 I가 R 전체가 아닐 경우, 이를 진 아이디얼(proper ideal)이라고 한다.
[편집] 함께 보기
- 중국인의 나머지 정리
