Gradient (matematyka)

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Ten artykuł dotyczy gradientu w matematyce i naukach przyrodniczych. Zobacz też: inne znaczenia słowa gradient.

Operatory różniczkowe

nabla
gradient
dywergencja
rotacja
laplasjan
dalambercjan

Definicja intuicyjna:
Gradient jest wektorem, którego zwrot wskazuje kierunek najszybszego wzrostu wartości funkcji, natomiast długość odpowiada wzrostowi tej funkcji na jednostkę długości.

Gradient wybranej wielkości (np. temperatury) jest wielkością określającą szybkość i kierunek największej zmiany wielkości.

Wektor przeciwny gradientowi nazywany jest antygradientem.

Definicja gradientu jako operatora tworzącego pole wektorowe jest pojęciem analizy matematycznej. Jednak często przez gradient rozumie się zmianę wielkości fizycznej spowodowanej zmianą odległości bez specjalnego wyróżniania kierunku. W tym sensie gradient jest używany jako płynna zmiana lub obszar zmiany i oznacza:

istnienie płynnej zmiany wielkości fizycznej (stężenia, pH, temperatury, gęstości ładunku elektrycznego) w określonej przestrzeni (powierzchni/objętości), jasności, koloru w grafice,
kierunek wektora gradientu (kierunek największej zmiany),
obszar, w którym występuje płynna zmiana.

[edytuj] Definicja

Gradient – to operator różniczkowy, który działając na pole skalarne, tworzy pole wektorowe. Utworzone pole wektorowe ma kierunek i zwrot największego wzrostu funkcji w danym punkcie, a wartość jest proporcjonalna do szybkości wzrostu (wzrost na jednostkę długości) funkcji. Gradient określony na polu wektorowym daje pole tensorowe.

Gradient oznaczany jest ‘grad’ lub odwróconym trójkątem (operator nabla): $\nabla$ zwanym nabla.

Wektory wskazują gradient zaciemnienia.

Przykład: Rozpatrzmy funkcję „stopień zaciemnienia” określającą jasność punktu w zadanym obszarze (każdemu punktowi przyporządkowano liczbę więc funkcja jest skalarna). Operator gradient przypisuje każdemu punktowi tego obszaru wektor wskazujący kierunek najszybszego wzrostu zaciemnienia obszaru. Wektory przedstawione na grafikach są ilustracją tego pola wektorowego.

Pole skalarne to funkcja, która w każdym punkcie przestrzeni na której jest określone ma przypisaną wartość (liczbę) pewnej wielkości skalarnej f.

W układzie współrzędnych kartezjańskich wektor gradientu jest określony jako:

$\mathrm{grad}\, f = \nabla f = \left[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z} \right]$

lub inaczej

$\mathrm{grad}\, f = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \vec j + \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \vec k$

gdzie $\vec i,\ \vec j,\ \vec k$ są wersorami osi kartezjańskiego układu współrzędnych.

W układzie współrzędnych cylindrycznych (walcowych):

$\mathrm{grad}\, f = \nabla f = \left[\frac{\partial f}{\partial r}, \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \phi},\frac{\partial f}{\partial z} \right]$

lub inaczej

$\mathrm{grad}\, f = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \vec i_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \phi} \cdot \vec i_{\phi} + \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \vec i_z$

gdzie $\vec i_r,\ \vec i_{\phi},\ \vec i_z$ są wersorami cylindrycznego układu współrzędnych.

W układzie współrzędnych sferycznych:

$\mathrm{grad}\, f = \nabla f = \left[\frac{\partial f}{\partial r}, \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta},\frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \right]$

lub inaczej

$\mathrm{grad}\, f = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \vec i_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \cdot \vec i_{\theta} + \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \cdot \vec i_{\phi}$

gdzie $\vec i_r,\ \vec i_{\theta},\ \vec i_{\phi}$ są wersorami sferycznego układu współrzędnych.

[edytuj] Przykład

Gradient funkcji $φ = 2 x + 3 y 2 - s i n (z)$ jest:

$\nabla \phi = \begin{pmatrix} {\frac{\partial \phi}{\partial x}}, {\frac{\partial \phi}{\partial y}}, {\frac{\partial \phi}{\partial z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2}, {6y}, {-cos(z)} \end{pmatrix}.$

[edytuj] Własności

Przyjmując, że F,G to pola wektorowe , f,g pola skalarne, a,b liczby rzeczywiste, zachodzą następujące relacje:

Gradient jest liniowy względem liczb rzeczywistych:

$\nabla\left(af+bg\right) = a\nabla f + b\nabla g\,,$

spełnia prawo Leibnitza dla funkcji:

$\nabla\left(fg\right) = \left(\nabla f\right) g + f\nabla g\,,$

$\nabla\left(f/g\right) = \left(g\nabla f\ - f\nabla g\right) / g^2,$

gradient iloczynu skalarnego pól wektorowych:

$\nabla\left(\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}\right) = \left(\mathbf{F}\cdot\nabla\right)\mathbf{G} +\left(\mathbf{G}\cdot\nabla\right)\mathbf{F} +\mathbf{F}\times\left(\nabla\times\mathbf{G}\right) +\mathbf{G}\times\left(\nabla\times\mathbf{F}\right)\,,$

gdzie ∇ × F jest rotacją pola wektorowego F.

Własności wektora gradientu pola skalarnego :

kierunek i zwrot wektora gradientu wskazuje kierunek, w którym dana wielkość f pola skalarnego rośnie najszybciej,
długość wektora (wartość/moduł wektora) gradientu określa szybkość wzrostu (przyrost na jednostkę długości) badanej wielkości w kierunku określonym przez gradient,
wartość gradientu jest równa pochodnej kierunkowej dla kierunku największego wzrostu, czyli określa największy wzrost wielkości skalarnej.

[edytuj] Przykłady użycia

Przykłady:

W niektórych szybko przebiegających reakcjach chemicznych zachodzących na granicy faz zachodzi zjawisko gradientowego stężenia substratów w objętości. Stwierdzenie to oznacza, że blisko granicy faz, gdzie przebiega właściwa reakcja stężenie produktów jest najwyższe, zaś czym dalej od tej granicy stężenie to spada. Zjawisko takie zachodzi np. przy elektrolizie

W przypadku polimerów możliwe jest otrzymywanie tzw. kopolimerów gradientowych, w których, na jednym końcu polimeru występuje więcej jednego meru a na przeciwległym drugiego.

W meterologii, fragment opisu stanu atmosfery "W niezbyt grubej warstwie - 81 m, różnica temperatury wynosiła aż 8,5 stopnia, tj. średnio ponad jeden stopień na 10 m wysokości. Tak duże ujemne, pionowe gradienty temperatury są rzadkością"

W fizyce gradient energii potencjalnej, to siła.