Ciąg Cauchy'ego

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Ciąg Cauchy'ego - ciąg elementów przestrzeni metrycznej - najczęściej zbioru liczb rzeczywistych - który spełnia warunek Cauchy'ego. Ciągi Cauchy'ego posłużyły Georgowi Cantorowi do formalnej konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych. Pojęcie ciągu Cauchy'ego poddawane było wielu uogólnieniom, m.in. na przestrzenie liniowo-topologiczne czy grupy. Nazwa pochodzi od imienia francuskiego matematyka, Augustina Louis'a Cauchy'ego.

Spis treści

1 Warunek Cauchy'ego dla ciągów liczb rzeczywistych
- 1.1 Przykłady
2 Warunek Cauchy'ego dla ciągów elementów przestrzeni metrycznej
3 Przestrzenie zupełne
4 Własności
- 4.1 Ciągi Cauchy'ego elementów przestrzeni (w tym ciągi rzeczywiste)
5 Warunek Cauchy'ego dla szeregów
6 Warunek Cauchy'ego dla szeregów elementów z przestrzeni Banacha
7 Warunek Cauchy'ego według miary
- 7.1 Własności
8 Bibliografia
9 Zobacz też

[edytuj] Warunek Cauchy'ego dla ciągów liczb rzeczywistych

Niech $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Mówimy, że spełnia on warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy

$\bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\bigwedge_{p,q>n_0}|a_p-a_q|<\varepsilon$

[edytuj] Przykłady

Ciąg o wyrazie ogólnym $a_n=\frac{1}{n}$ jest ciągiem Cauchy'ego, bo

$\left|\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\right|\leq \frac{1}{p}+\frac{1}{q}\leq \frac{2}{q}$ dla $q\leq p$ . Wystarczy przyjąć $n_0>{2\over \varepsilon}$ .

Ciąg o wyrazie ogólnym $a n = n$ nie jest ciągiem Cauchy'ego, bo $|a_p-a_q|=|p-q|\geq 1$ dla $p\neq q$ - ciąg ten jest nieograniczony, a na mocy poniższej własności drugiej - ciąg Cauchy'ego jest ograniczony.

Definicję warunku Cauchy'ego można rozszerzyć na dowolną przestrzeń metryczą. W szczególności, wszystkie twierdzenia dla ciągów dowolnej przestrzeni metrycznej są prawdziwe w powyższym przypadku.

[edytuj] Warunek Cauchy'ego dla ciągów elementów przestrzeni metrycznej

Niech $(X,\varrho)$ będzie przestrzenią metryczną i niech $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem elementów tej przestrzeni. Mówimy, że spełnia on warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy

$\bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\bigwedge_{p,q>n_0}\varrho(a_p,a_q)<\varepsilon$

[edytuj] Przestrzenie zupełne

Przestrzeń metryczną, w której każdy ciąg Cauchy'ego jest zbieżny nazywamy zupełną. Przestrzeń unormowaną, która jest zupełna (w sensie metryki generowanej przez normę), nazywamy przestrzenią Banacha.

W szczególności, przestrzeń $\mathbb{R}$ (z metryką modułową) i przestrzeń $\mathbb{R}^k$ (z metryką euklidesową) są przestrzeniami zupełnymi.

[edytuj] Własności

Ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy'ego.
Ciąg Cauchy'ego jest ograniczony.
Ciąg Cauchy'ego, zawierający podciąg zbieżny do pewnej liczby $g$ , jest zbieżny do $g$ .

[edytuj] Ciągi Cauchy'ego elementów przestrzeni $\mathbb{R}^k$ (w tym ciągi rzeczywiste)

Ciąg punktów $x_n=(x_1^{(n)}, \ldots, x_k^{(n)})$ jest ciągiem Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z ciągów $x_1^{(n)},\ldots, x_k^{(n)}$ jest ciągiem Cauchy'ego.
Ciąg punktów przestrzeni $\mathbb{R}^k$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunkek Cauchy'ego.

W szczególności, ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy'ego.

[edytuj] Warunek Cauchy'ego dla szeregów

Niech $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Szereg $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy'ego, tj.

$\bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\bigwedge_{p>q>n_0}|\sum_{n=q+1}^pa_n|<\varepsilon$ .

Oczywiście, definicja ta daje się łatwo uogólnić na szeregi elementów przestrzeni Banacha.

[edytuj] Warunek Cauchy'ego dla szeregów elementów z przestrzeni Banacha

Niech $(E, \|\cdot\|)$ będzie przestrzenią Banacha. Szereg $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ elementów z przestrzeni $E$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy'ego, tj.

$\bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\bigwedge_{p>q>n_0}\|\sum_{n=q+1}^pa_n\|<\varepsilon$ .

[edytuj] Warunek Cauchy'ego według miary

Warunek Cauchy'ego według miary to przeniesienie pojęcia warunku Cauchy'ego na ciągi funkcji mierzalnych.

Niech $(X,\mathfrak{M},\mu)$ będzie przestrzenią z miarą, dalej niech $A\in\mathfrak{M}$ i $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem funkcji mierzalnych (prawie wszędzie skończonych) $f,f_n\colon A\to \overline{\mathbb{R}},\; n\in\mathbb{N}$ .
Mówimy, że ciąg $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ spełnia warunek Cauchy'ego według miary $\mu\;$ (na zbiorze $A\;$ ) wtedy i tylko wtedy, gdy

$\bigwedge_{\varepsilon>0}\bigwedge_{\eta>0}\bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\bigwedge_{p,q\geq n_0}$ $\mu(\{x\in A\colon f_p(x), f_q(x)\in\mathbb{R}, |f_p(x)-f_q(x)|\geq \varepsilon\})<\eta$

[edytuj] Własności

Ciąg jest zbieżny według miary wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy'ego według miary.
Twierdzenie Riesza.

[edytuj] Bibliografia

Kołodziej, Witold. Analiza matematyczna. Warszawa : PWN, 1979.
Leja, Franciszek. Rachunek Różniczkowy i całkowy. Warszawa : PWN, 1976.
Maurin, Krzysztof. Analiza - Część I - Elementy. Warszawa : PWN, 1976.
Musielakowie, Helena i Julian. Analiza matematyczna. Poznań : Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000.

[edytuj] Zobacz też

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../c/i/%C4%85/Ci%C4%85g_Cauchy%27ego_9ef4.html"

Kategorie: Topologia • Analiza matematyczna • Liczby rzeczywiste

Ciąg Cauchy'ego

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Warunek Cauchy'ego dla ciągów liczb rzeczywistych

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Warunek Cauchy'ego dla ciągów elementów przestrzeni metrycznej

[edytuj] Przestrzenie zupełne

[edytuj] Własności

[edytuj] Ciągi Cauchy'ego elementów przestrzeni $\mathbb{R}^k$ (w tym ciągi rzeczywiste)

[edytuj] Warunek Cauchy'ego dla szeregów

[edytuj] Warunek Cauchy'ego dla szeregów elementów z przestrzeni Banacha

[edytuj] Warunek Cauchy'ego według miary

[edytuj] Własności

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach

Ciąg Cauchy'ego

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Warunek Cauchy'ego dla ciągów liczb rzeczywistych

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Warunek Cauchy'ego dla ciągów elementów przestrzeni metrycznej

[edytuj] Przestrzenie zupełne

[edytuj] Własności

[edytuj] Ciągi Cauchy'ego elementów przestrzeni (w tym ciągi rzeczywiste)

[edytuj] Warunek Cauchy'ego dla szeregów

[edytuj] Warunek Cauchy'ego dla szeregów elementów z przestrzeni Banacha

[edytuj] Warunek Cauchy'ego według miary

[edytuj] Własności

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach

[edytuj] Ciągi Cauchy'ego elementów przestrzeni $\mathbb{R}^k$ (w tym ciągi rzeczywiste)