Przestrzeń styczna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Przestrzeń styczna jest pojęciem matematycznym, dotyczącym geometrii różniczkowej. Przestrzeń styczna do rozmaitości różniczkowej jest uogólnieniem przestrzeni afinicznej, czyli przestrzeni swobodnych wektorów, na ogólne rozmaitości różniczkowe.

[edytuj] Nieformalne wprowadzenie

Pojęcie przestrzeni stycznej pozwala uogólnić definicję wektorów zaczepionych w pewnym punkcie na przestrzenie zakrzywione, czyli rozmaitości różniczkowe.

[edytuj] Przestrzeń styczna do przestrzeni euklidesowej

W przestrzeni euklidesowej $E$ , wektor zaczepiony w pewnym punkcie jest określony przez punkt zaczepienia oraz współrzędne tego wektora. Wektory zaczepione w różnych punktach uważa się za odrębne, nawet jeśli mają te same współrzędne. Powiemy, że wektor zaczepiony w punkcie $P$ należy do przestrzeni stycznej do $E$ w punkcie $P$ (oznaczaniej $T P (E)$ ). Wektory zaczepione w różnych punktach są różne, gdyż należą do różnych przestrzeni. Zauważmy, że wymiar przestrzeni stycznej w punkcie $P$ jest równy wymiarowi przestrzeni $E$ .

[edytuj] Przestrzeń styczna do sfery

Ten intuicyjny opis przestrzeni stycznej w punkcie $P$ do rozmaitości może być przeniesiony na rozmaitości różniczkowe zanurzone w przestrzeni euklidesowej większego wymiaru. Weźmy dla przykładu trójwymiarową przestrzeń euklidesową $E 3$ z zanurzoną w niej sferą $S 2$ oraz pewien punkt $P$ na sferze. Sfera jest tu rozmaitością różniczkową dwuwymiarową zanurzoną w przestrzeni trójwymiarowej.

Rozważmy na początku przestrzeń $T P (E 3)$ styczną do $E 3$ w punkcie $P$ , czyli zbiór wektorów swobodnych, zaczepionych w tym punkcie. Z tych wektorów wybierzemy wektory styczne do sfery (w geometrycznym znaczeniu styczności). Te wektory tworzą przestrzeń liniową dwuwymiarową, która jest przestrzenią styczną w punkcie $P$ do $S 2$ ( $T P (S 2)$ ).

Podobnie jak w poprzednim przypadku, przestrzeń styczna w punkcie $P$ jest tego samego wymiaru do rozmaitość różniczkowa. Dodatkowo, na tym przykładzie widać, że przestrzenie styczne w różnych punktach są oddzielne - wektor swobodny, który jest styczny w jednym punkcie nie musi być styczny w innym.

[edytuj] Przestrzeń styczna do sfery - definicja abstrakcyjna

Aby z poprzedniego przypadku przejść do dowolnej rozmaitości różniczkowej należy usunąć odwołanie do przestrzeni $E 3$ otaczającej $S 2$ , które występuje w definicji wektorów stycznych do sfery. Weźmy w tym celu wszystkie krzywe sparametryzowane, na powierzchni sfery, przechodzące przez $P$ . Powierzchnię sfery możemy sparametryzować za pomocą kątów biegunowych $θ$ i $φ$ (powiemy, że określona jest mapa w otoczeniu punktu $P$ . Każda krzywa jest odwzorowaniem parametru tej krzywej w punkt na sferze. Z kolei punkt na sferze możemy za pomocą mapy przenieść do przestrzeni $R 2$ parametrów $(θ,φ)$ . Zatem każda krzywa na sferze wyznacza jednoznacznie krzywą w $R 2$ . W $R 2$ możemy policzyć wektory styczne do krzywych (z geometrycznym sensie). Mając te pochodne możemy utożsamić dwie krzywe przechodzące przez $P$ jeśli po przeniesieniu do $R 2$ mają ten sam wektor styczny.

Przestrzeń styczną do sfery w punkcie $P$ zdefiniujemy jako zbiór krzywych przechodzących przez $P$ , przy czym utożsamiamy krzywe, które mają taki sam wektor styczny po przeniesieniu do $R 2$ . Każdej takiej krzywej odpowiada (wzajemnie jednoznacznie) pewien wektor z $R 2$ . Dodawanie i mnożenie przez skalar (czyli działania określone w każdej przestrzeni wektorowej) możemy zdefiniować przez przeniesienie ich do przestrzeni $R 2$ . Zatem tak określona przestrzeń styczna jest istotnie przestrzenią wektorową wymiaru 2, czyli tego samego wymiaru co przestrzeń, do której jest styczna. Można pokazać, że ta definicja nie zależy od wyboru mapy współrzędnych biegunowych i będzie identyczna dla każdej innej mapy.

Można pokazać, że powyższa definicja jest identyczna z definicją przeniesioną z przestrzeni $E 3$ .

[edytuj] Podsumowanie

Na przestrzeń styczną w punkcie $P$ do różniczkowalnej rozmaitości różniczkowej $X$ możemy patrzeć jak na przestrzeń wektorów zaczepionych w tym punkcie rozmaitości. Wymiar przestrzeni stycznej jest równy wymiarowi rozmaitości $X$ . Każdy element przestrzeni stycznej - wektor styczny do $X$ w punkcie $P$ - jest wektorem stycznym do pewnej gładkiej krzywej na rozmaitości, przechodzącej przez punkt $P$ . Przestrzeń styczną do $X$ w punkcie $P$ oznacza się $T P (M)$ lub $T P M$ .

[edytuj] Definicja

Niech $(U, \phi)\,$ będzie mapą otoczenia $U$ punktu $P$ rozmaitości różniczkowej $M$ klasy $C 1$ wymiaru $n$ .

Określamy krzywą klasy $C^r\,$ na $M$ przechodzącą przez punkt $P$ jako odwzorowanie $γ$ klasy $C^r\,$ dowolnego przedziału $(-\epsilon, \epsilon) \subset \mathbb{R}$ w $M$ , takie że $\gamma(0) = P\,$ .

Na zbiorze $\overline{T}_p(M)\,$ wszystkich krzywych klasy $C 1$ na rozmaitości $X$ , przechodzących przez punkt $P$ , określamy relację równoważności $\sim$ taką, że dwie krzywe $\gamma_1\,$ i $\gamma_2\,$ są w relacji o ile wektory styczne w zerze do krzywych $\phi \circ \gamma_1$ oraz $\phi \circ \gamma_2$ (obie krzywe leżą w $\mathbb{R}^n$ ) są równe, czyli:

$\gamma_1 \sim \gamma_2 \iff \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\phi \circ \gamma_1)\Big|_{0} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\phi \circ \gamma_2)\Big|_{0}$

Można sprawdzić, że taka definicja relacji nie zależy od wyboru początkowej mapy $(U, \phi)\,$ .

Przestrzeń styczną do rozmaitości różniczkowej $X$ klasy $C 1$ w punkcie $P$ , oznaczaną $T_P(M)\,$ , definiujemy jako zbiór klas abstrakcji relacji $\sim$ :

$T_P(M) = \overline{T}_P(M)/\sim$

Odwzorowanie $\Theta_{\phi}:\overline{T}_p(M) \to \mathbb{R}^n$ przyporządkowujące krzywej $γ$ , przechodzącej przez $P$ , jej wektor styczny w zerze:

$\Theta_{\phi}(\gamma) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\phi \circ \gamma)\Big|_0$

jest stałe na klasach abstrakcji relacji $\sim$ i indukuje bijekcję $T_P(M)\,$ na przestrzeń $\mathbb{R}^n$ . Zatem $T_P(M)\,$ ma strukturę przestrzeni liniowej wymiaru $n$ , przeniesioną przez bijekcję $\Theta_{\phi}\,$ .

[edytuj] Komentarz

Definicja przestrzeni stycznej nie zależy od wyboru początkowej mapy $(U, \phi)\,$ . Wzięcie innej mapy nie zmienia równości wektorów stycznych do krzywych, czyli relacji $\sim$ .