Binómio de Newton

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Em matemática, o binómio de Newton (na grafia portuguesa) ou binômio de Newton (na grafia brasileira) permite escrever na forma canônica o polinómio correspondente à potência de um binómio.

Casos particulares do Binómio de Newton são:

${\left(x + y\right)}^1 = x + y\,\!$

${\left(x + y\right)}^2 = x^2 + 2xy + y^2\,\!$

O nome é dado em homenágem ao físico e matemático Isaac Newton.

Índice

1 Notação e fórmula
2 O triângulo de Pascal
3 Demonstração do teorema do Binômio de Newton
4 Aplicações
5 O binómio na Arte
6 Ver também

[editar] Notação e fórmula

O teorema do binômio de Newton se escreve como segue:

${\left(x+y\right)}^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^k\,\!$

Os coeficientes ${n \choose k}$ são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:

${n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\,\!$ , onde $n\,$ e $k\,$ são inteiros e $k\leq n\,$

O coeficiente binomial ${n\choose k}$ corresponde, em análise combinatória, ao número combinações de n elementos agrupados k a k.

[editar] O triângulo de Pascal

Ver artigo principal: Triângulo de Pascal.

Um algoritmo simples para calcular os coeficientes binomiais é o triângulo de Pascal.

O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por coeficientes binomiais $\begin{matrix} {n\choose k} \end{matrix}$ , onde $\,\!n$ representa o número da linha (posição vertical) e $\,\!k$ representa o número da coluna (posição horizontal).

A construção do triângulo se faz de forma que cada elemento do triângulo de Pascal é igual à soma do elementos imediatamente acima e à direito com o elemento imediatamente acima e à esquerda. O elemento da primeira linha e primeira coluna é 1.

O príncipio do triângulo de Pascal é a relação de Stiffel também conhecida como igualdade do triângulo de Pascal:

O triângulo de Pascal.

${n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}={n\choose k}$

Esta fórmula e o triângulo de Pascal são muitas vezes atribuidos a Blaise Pascal, que os descreveu no século XVII. Já eram, no entanto, conhecidos do matemático Chinês Yang Hui no século XIII. O matemático persa Omar Khayyám, pode ter sido o primeiro a descobrir.

Por exemplo, o desenvolvimento de diversos binômios através dessa técnica:

${\left(x + y\right)}^2 = x^2 + 2xy + y^2\,\!$

${\left(x + y\right)}^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,\!$

${\left(x + y\right)}^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.\,\!$

[editar] Demonstração do teorema do Binômio de Newton

Sejam x, y elementos de um anel comutativo( xy=yx) e n um inteiro não-negativo.

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k$

Demonstraremos por indução matemática.

Base:

$n=0~,\qquad(x+y)^0=1={0 \choose 0}x^0y^0$

$n=1~,\qquad(x+y)^1= x + y ={1 \choose 0}x^1y^0 + {1 \choose 1}x^0y^1$

Recorrência:

Seja n um inteiro maior ou igual a 1, mostraremos que a relação para n implica a relação para n+1:

Da hipótese de indução:

$(x+y)^{n+1}=(x+y)\cdot\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k,$

Por distributividade de produto sob a soma:

$(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot\sum_{k=1}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k +y\cdot\sum_{k=0}^{n-1} {n \choose k} x^{n-k} y^k + y^{n+1}$

Por fatorização:

$(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n \left\lbrack {{n} \choose {k}} + {{n} \choose {k-1}} \right\rbrack x^{n-k+1} y^{k}+ y^{n+1}$

Usando a formula do triângulo de Pascal:

$(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n {{n+1}\choose k}~x^{n-k+1} y^{k}+y^{n+1}$

Reagrupando o somatório:

$(x+y)^{n+1} =\sum_{k=0}^{n+1} {{n+1}\choose k}~x^{n-k+1} y^{k}$

E segue o resultado.

[editar] Aplicações

O binómio de Newton pode ser usado para derivar diversas expressões matemáticas, através da escolha adequada de x e y. Por exemplo:

$0=(1-1)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}(-1)^k$
$2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}$
$2^{2n}=(1+1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n \choose k}$
$1=[x+(1-x)]^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^k(1-x)^{n-k}=\sum_{k=0}^nB_k^n(x)$ , onde $B_k^n(x)$ são os polinómios de Bernstein.

[editar] O binómio na Arte

Vénus de Milo

O binómio de Newton teve a sua influência na arte dando inclusivamente origem a uma poesia do autor Fernando Pessoa sob o heterónimo de Álvaro de Campos. Álvaro de Campos, engenheiro naval de origem portuguesa e educação inglesa, na sua fase futurista, dedica-se a explorar poeticamente o seu fascínio pela tecnologia e usa de forma exemplar o binómio de Newton para introduzir uma apreciação estética sobre uma descoberta científica.

O Binómio de Newton

O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo.

O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó--- óóóóóóó óóóóóóóó

(O vento lá fora.)

(Fernando Pessoa, Poesias de Álvaro de Campos)

Recomendado

[editar] Ver também

Retirado de "http://pt.wikipedia.org../../../b/i/n/Bin%C3%B3mio_de_Newton_cba6.html"

Categoria: Combinatória

Binómio de Newton

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Índice

[editar] Notação e fórmula

[editar] O triângulo de Pascal

[editar] Demonstração do teorema do Binômio de Newton

[editar] Aplicações

[editar] O binómio na Arte

[editar] Ver também

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