Binomická věta
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Binomická věta je důležitá matematická věta, díky které můžeme n-tou mocninu dvou sčítanců rozložit na součet n+1 sčítanců. Věta vychází z kombinatoriky, dnes se používá například k dokazování ve fyzice. Nejjednoduší verze vypadá takto:
Pokud je n přirozené číslo, tak následující kombinační čísla:
jsou takzvané binomické koeficienty Pascalova trojúhelníku. Číslo n! je faktoriál čísla n.
[editovat] Příklady
Příklady binomické věty pro n = 2, n = 3 a n = 4:
[editovat] Důkaz
Použijeme matematickou indukci. Když n = 0, rovnost platí:
Pro indukční krok budeme předpokládat, že věta platí pro exponent m. Pak pro n = m + 1,
-
z indukčního předpokladu
-
násobení přes a a b
-
vyjmutí k=0 ze sumy
-
substituce j = k − 1
-
vyjmutí k = m + 1 ze sumy
-
![= a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[ { m \choose k } + { m \choose k-1 } \right] a^{m+1-k}b^k](../../../math/e/f/9/ef90c26a2f2ead76ee476e7b18068b98.png)
složení dvou sum
-
z Pascalova pravidla
-
přidáním + 1 mocnin do výrazu.
QED
[editovat] Podívejte se také na
- Multinomická věta
