Бином Ньютона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Бином Ньютона — эта формула

$(a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b + \dots + C_n^ka^{n-k}b^k + \dots + C_n^nb^n$ ,

где $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты, n — неотрицательное целое число.

Содержание

1 Для ненатуральных степеней
2 История
3 В художественной литературе
4 См. также

[править] Для ненатуральных степеней

${(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty C_r^k x^k y^{r-k}}$

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты находятся по формуле:

$C_r^k={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-(k-1))}{k!}\,$

В частности,

$(1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}z^n+...$ .

Этот степенной ряд сходится при $|z|\le 1$ .

Если в этой формуле положить $z=\frac{1}{m}$ , а $\alpha=x\cdot m$ , то получим

$\left(1+\frac{1}{m}\right)^{xm}=1+x+\frac{xm(xm-1)}{2\; m^2}+...+\frac{xm(xm-1)\cdots(xm-n+1)}{n!\; m^n}+...$ .

Вводя обозначение $e=\lim_{m\to\infty}{\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}}$ (один из замечательных пределов) и переходя к пределу $m\to\infty$ получим формулу

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+...+\frac{x^n}{n!}+...$ .

Впервые получил её таким образом Леонард Эйлер.

[править] История

Считается, что эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Тем не менее, она была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке. Возможно, её открыл персидский учёный, поэт и философ Омар Хайям.

Исаак Ньютон обобщил формулу для прочих показателей степени.

[править] В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном (хотя эта формула входит в школьный курс алгебры).

В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:

«Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность».

Знаменита цитата из «Мастера и Маргариты» М. А. Булгакова: «Подумаешь, бином Ньютона!».

Об этой специфической роли бинома Ньютона в культуре писал известный математик В. А. Успенский [1].

[править] См. также

Формулы сокращённого умножения многочленов — наиболее частые частные случаи бинома Ньютона

Это незавершённая статья по математике.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Категории: Незавершённые статьи по математике | Алгебра

Бином Ньютона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Для ненатуральных степеней

[править] История

[править] В художественной литературе

[править] См. также

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках