Треугольная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Треугольная матрица — матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю.

Пример верхнетреугольной матрицы

Верхнетреугольная матрица — матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Нижнетреугольная матрица — матрица, в которой все элементы выше главной диагонали равны нулю.

Унитреугольная матрица (верхнаяя или нижняя) — треугольная матрица, в которой все элементы на главной диагонали равны единице.

[править] Свойства

Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.
Определитель унитреугольной матрицы равен единице.
Множество невырожденных верхнетреугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу, которая обозначается UT(n, k) или UT_n (k).
Множество невырожденных нижнетреугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу, которая обозначается LT(n, k) или LT_n (k).
Множество верхних унитреугольных матриц с элементами из поля k образует подгруппу UT_n (k) по умножению, которая обозначается SUT(n, k) или SUT_n (k). Аналогичная подгруппа нижних унитреугольных матриц обозначается SLT(n, k) или SLT_n (k).
Множество всех верхнетреугольных матриц с элементами из кольца k образует алгебру относительно операций сложения, умножения на элементы кольца и перемножения матриц. Аналогичное утверждение справедливо для нижнетреугольных матриц.
Группа UT_n разрешима, а её унитреугольная подгруппа SUT_n нильпотентна.

Треугольные матрицы используются в первую очередь при решении линейных систем уравнений, когда матрица системы (в процессе прямого хода) сводится к треугольному виду. Решение систем линейных уравнений с треугольной матрицей (обратный ход) не представляет сложностей.