Izrek

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Izrèk (ali teorém, grško θεώρημα: theórema - videz, predstava, prizor; izrek) je trditev (predpostavka, postavka, propozicija) oziroma nedokazano načelo, ki je bila ali bo dokazana v poljubnem logičnem sistemu na podlagi nedvoumnih privzetkov. Dokazovanje izrekov je glavna dejavnost matematike. Izrek se razlikuje od teorije. Lahko tudi nekako rečemo, da izrek, v nasprotju z aksiomom, ni samoumeven.

Vsebina

1 Zgradba izreka
2 Primeri izrekov v matematiki
3 Izreki v drugih vedah in področjih
4 Glej tudi
- 4.1 Matematika
- 4.2 Jeziki

[uredi] Zgradba izreka

Izrek ima po navadi nastavitev, niz pogojev, ki so lahko razvrščeni v izreku samem ali opisani pred njim. Nato ima zaključek - matematično izjavo, ki je resnična pod danimi pogoji. Dokaz, ki je sicer nujen za označitev dane izjave kot izrek, ni del izreka.

V splošnem mora biti izjava v matematiki na nek način dovolj zanimiva ali pomembna, da jo lahko imenujemo izrek. Manj pomembne izjave so:

lema: izjava, ki je del dokaza večjega izreka. Razlika med izreki in lemami je dokaj poljubna, saj je pomemben rezultat nekega matematika lahko manjša trditev drugega. Gaussovi lemi in Zornova lema so na primer dovolj zanimive same po sebi, zato nekateri avtorji uporabljajo lemo s posebnim imenom brez da bi jo uporabljali v dokazu kakšnega izreka.
korolarij (dostavek): trditev, ki izhaja prek kratkega dokaza ali brez iz ravnokar dokazanega. Trditev A je korolarij trditve ali izreka B, če lahko A hitro in preprosto izvedemo iz B.
podmena (propozicija): rezultat, ki ni vezan na kakšen poseben izrek.
zahteva: manj pomemben, vendar nujen in zanimiv rezultat, ki je lahko del dokaza druge izjave. Navkljub imenu imajo zahteve dokaze.
opomba: podobna kot zahteva. Ponavadi se poda brez dokaza, ki je dovolj očiten.

Matematična izjava, za katero se verjame, da je resnična, vendar še ni dokazana, se imenuje domneva (hipoteza, tudi konjektura).

Kakor je navedeno zgoraj izrek zahteva neko vrsto logičnega ogrodja. Ta se sestoji iz osnovne množice aksiomov (glej aksiomatični sistem) in tudi iz toka sklepa, ki dovoljuje, da se lahko novi izreki izvedejo iz aksiomov in drugih izrekov, ki so bili izvedeni prej. V izjavni logiki se vsaka dokazana izjava imenuje izrek. Večina takšnih izrekov nima posebne praktične veljave. Ni preprosto reči zakaj je nek matematični rezultat vreden imenovati se izrek.

[uredi] Primeri izrekov v matematiki

Veliko izrekov v matematiki je preprostih, oziroma preprosto izrečenih, njihovi dokazi pa so lahko zelo dolgi, oziroma so jih matematiki zelo dolgo dokazovali. Eden najbolj znanih primerov je Fermatov veliki izrek iz teorije števil. Podobno je z domnevami - na primer Riemannova in Poincaréjeva domneva. Več izrekov lahko opredelimo kot osnovnih.

Najbolj znani izreki v matematiki so:

Talesov izrek (Tales, 7./6. stoletje pr. n. št.)
Pitagorov izrek (Egipčani, Pitagora, 6. stoletje pr. n. št.)
osnovni izrek aritmetike (Evklid, 4./3. stoletje pr. n. št.)
osnovni izrek algebre (Gauss, 1799)
sinusni izrek (ibn Irak, 10./11. stoletje)
praštevilski izrek (Poussin, Hadamard, 1896)
izrek o štirih barvah (Appel, Haken, 1976)
Taylorjev izrek (Taylor, 1712)
...

[uredi] Izreki v drugih vedah in področjih

Izreki so pomebni tudi v fiziki, čeprav ne v takšni meri kot v matematiki. Na primer izrek o gibalni količini. Najdemo jih tudi drugod, na primer v ekonomiji.