Tal (matematik)

Wikipedia

Denna artikel behandlar tal såsom matematiskt begrepp. För andra betydelser, se tal.

Artikeln anses behöva kvalitetskontrolleras, eftersom den kan innehålla felaktigheter.
Diskutera frågan på diskussionssidan och förbättra gärna artikeln.

Tal används bland annat för att berätta maxhastigheten på en väg, och ibland för att tala om vägnumret.

När man räknar använder man ofta siffror, här ser du en sjua med 7 paprikor.

Tal är ett matematiskt grundbegrepp som används för att representera olika storheter, dvs. sådant som går att mäta i bestämda måttenheter, till exempel antal, längd, vikt, volym, temperatur och tryck. Inom matematiken är talbegreppet av grundläggande betydelse. Det används för att på ett objektivt sätt beskriva storlek hos mängder.

Ett tal är en abstrakt enhet som represeterar ett antal eller ett mått. Många av talen kan representeras med textsträngar som huvudsakligen består av siffror, till exempel 117,3. Även dessa symboliska representationer brukar kallas för tal. Normalt brukar siffror användas som beteckningar, som till exempel telefonnummer, och som koder, till exempel ISBN. I matematik, är definitionen av tal vidare och inkluderar abstrakta tal, såsom bråk, negativa tal, irrationella tal, transcendenta tal och komplexa tal.

De uppräkneliga operationerna på tal, till exempel addition, subtraktion, multiplikation och division är generaliserade i den gren av matematiken som kallas abstrakt algebra, studiet av abstrakta talsystem som grupper, ringar och fält.

[redigera] Typer av tal

Naturliga tal är beskrivna redan i förhistorien. Rationella tal, som är kvoter av heltal, uppkom under antiken. Algebraiska tal är tal som kan definieras utifrån ett ändlig uttryck med rationella tal. Transcendentala tal är alla övriga reella tal. Komplexa tal är den slutliga kompletteringen av talrummet.

[redigera] Informell diskussion

I meningen Fem myror är fler än fyra elefanter. är det inte fråga om en jämförelse av storleken hos myror och elefanter, utan det är antalet element i 'Myr-mängden' som är större än antalet element i 'Elefant-mängden'. Här är man inte intresserad av att en elefant har mycket större kroppshydda än en myra, även om det kanske är just kroppshyddan som andra först tänker på när de jämför myror med elefanter.

På samma sätt är tusen enkronors-mynt fler än en tusenkronors-sedel. Däremot är tusen enkronors-mynt värda lika mycket som en tusenkronors-sedel. Här är det en fråga om två olika mått av de två mängderna Tusen enkronors-mynt och Tusenkronors-sedlar: Det ena måttet, räknemåttet, ger oss upplysning om antalet element i en mängd medan det andra måttet, värdemåttet, talar om för oss värdet i kronor räknat av elementen i en mängd, i den mån det går att mäta mängden med detta mått.

[redigera] Formell diskussion

Man kan definera de så kallade naturliga talen 0,1,2,3,..., genom att först definiera talet noll (0) som den tomma mängden

$0 = \emptyset$

och därefter successivt definera de andra naturliga talen på följande sätt:

1= ${0}$
2= ${0,1}$
3= ${0,1,2}$
$\vdots$

Ett annat sätt att definiera de naturliga talen är att imitera de ryska så kallade 'Babushka'-dockorna, där det inuti varje docka ligger en mindre docka. Till skillnad från den ryska 'Babushka'-dockan, innehåller den matematiska 'Babushka'-dockan oändligt många dockor:

0 = $\emptyset$
1 = $\{ \emptyset \}$
2 = $\{ \{ \emptyset \} \}$
3 = $\{ \{ \{ \emptyset \} \} \}$
$\vdots$

Bakom de tre punkterna som utgör ellipsis-symbolen i uppräkningen av de naturliga talen 0,1,2,3,..., ligger den så kallade Principen om matematisk induktion:

I de två listorna ovan kan man se ett mönster i konstruktionerna av talen 0,1,2 och 3. Principen om matematisk induktion låter oss hävda att om vi fortsätter detta mönster i all oändlighet, så har vi lyckats konstruera de naturliga talen.