Kvaternion
Wikipedia
Kvaternion [-'u:n] (senlat. quate´rnio, av lat. quate´rni 'fyra i sänder', 'fyra åt gången'), en utvidgning av de reella talen till fyra dimensioner på ett liknande sätt som komplexa tal är en utvidgning till 2 dimensioner, definierat av W.R. Hamilton 1843. Multiplikation och addition beskriver rotation respektive translation i planet, i analogi med de komplexa talen. Hamilton sökte ett tredimensionellt talsystem för att beskriva rörelse i rummet, men med matriser kan man nu visa att detta är en omöjlig uppgift. Vektorer har nu tagit över denna roll.
En kvaternion q kan skrivas på formen
där a, b, c och d är reella tal, och där i, j, k är underställda reglerna i2=j2=k2=ijk=-1 (en sorts basvektorer). Multiplikationen är associativ (dvs. a(bc)=(ab)c) och antikommutativ (ij=k=-ji). Frobenius sats, visad av Frobenius 1877, säger att denna egenskap karakteriserar kvaternionerna, i den meningen att kvaternionerna är den enda associativa divisionsalgebran över de reella talen som inte är kommutativ. I analogi med komplexa tal kan man bilda konjugat
,
och produkten
är reell och positiv och ger normen i kvadrat.
Kompositionstabell.
| · | 1 | i | j | k |
| 1 | 1 | i | j | k |
| i | i | -1 | k | -j |
| j | j | -k | -1 | i |
| k | k | j | -i | -1 |
Dessa produkter bildar kvaterniongruppen av ordning 8, Q8.
[redigera] Historia
Kvaternioner upptäcktes av William Rowan Hamilton år 1843. H. sökte nya sätt att utöka de komplexa talen (som kan åskådliggöras som punkter i planet) till högre rumsdimensioner. Han kunde inte göra så för tre dimensioner, men för fyra dimensioner fann han att denna utvidgning går att göra. Enligt H.:s egna ord kom en plötslig tanke att använda regeln i2 = j2 = k2 = ijk = -1, medan han tog sig en promenadtur med frun. Han ristade direkt in denna regel i Broughambron över Royal Canal i Dublin.
Regeln för med sig att den kommutativa lagen inte gäller, vilket var ett radikalt avsteg från den tidens matematik. Vektoralgebra och matriser var ännu något som inte upptäckts, men med kvaternioner hade H. med detta även introducerat kryss- och skalärprodukten inom vektoralgebra. H. beskrev kvaternion som ett ordnat fyrelement bestående av reella tal, och uppfattade det första elementet som en 'skalär' del, medan resterande tre uppfattades som delar av en 'vektor'. Om två kvaternioner med skalära delar lika med noll multipliceras, så är den skalära delen av produkten det negativa av skalärprodukten av vektordelarna, medan produktens vektordel är kryssprodukten. Men dessa detaljer upptäcktes först senare när vektoralgebran utvecklades.
H. fortsatte att introducera kvaternioner i många böcker. Den sista, Elements of Quaternions, hade 800 sidor och publicerades kort efter hans död.
Även vid denna tidpunkt fanns diskussioner om kvaternionernas användningsområde. Några av Hamiltons stödjare (som Oliver Heaviside och Willard Gibbs) motsatte sig det växande området vektoralgebra till förmån för kvaternioner, som tillgodoser en överlägsen notation. Medan dess användningsområde inom tre dimensioner har diskuterats, så kan kvaternioner inte heller användas för godtyckliga dimensioner. Men det finns utvidgningar som oktonioner, eller Clifford algebra. I vilket fall som helst hade vektornotationen vunnit över kvaternionnotationen inom alla vetenskaps- och teknikfält under mitten av 1900-talet.
Idag finns potential att använda kvaternioner i bl.a. datorgrafik, reglerteknik, signalbehandling och mekanik för stela kroppars kretsloppbanor, huvudsakligen för att talen representerar rotationer och/eller orienteringar. Skälet till att talsystemet introduceras i nutid är att det blir färre räkneoperationer när man kombinerar flera kvaterniontransformationer, än att kombinera flera matristransformationer. Dessutom är det ett smidigt sätt att undvika s.k. Gimbal Lock vid rotation.
